В прямом в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C внешний угол при вершине А равен 120°, AC + AB = 18 см Найдите AC и AB

Решение:

1. Внешний угол при вершине A равен 120°. Внешний угол внутри треугольника и внутренний угол при A являются дополняющими: внешний угол = 180° − ∠A. Значит ∠A = 180° − 120° = 60°.

2. В прямоугольном треугольнике C = 90°. Следовательно B = 90° − A = 90° − 60° = 30°. Итак, треугольник ABC имеет углы A = 60°, B = 30°, C = 90° — это треугольник 30–60–90.

3. В треугольнике 30–60–90 стороны относятся так: противоположный 30° угол — кратная минимальная сторона, противоположный 60° — кратная √3, гипотенуза — кратная 2. Здесь угол B = 30°, значит AC (сторона, противоположная B) есть минимальная сторона. Обозначим AC = x. Тогда AB (гипотенуза) = 2x.

4. Дано AC + AB = 18 см. Подставим: x + 2x = 3x = 18 ⇒ x = 6.

5. Следовательно:

• AC = 6 см
• AB = 2x = 12 см

Дополнительная проверка (опционально): sin B = AC/AB = sin 30° = 1/2, значит AC = AB/2. Тогда AB + AC = AB + AB/2 = 3AB/2 = 18 ⇒ AB = 12, AC = 6, что совпадает.

Ответ: AC = 6 см, AB = 12 см. (BC = 6√3 см можно найти по Пифагору: BC^2 = AB^2 − AC^2 = 144 − 36 = 108, BC = 6√3.)