Рассмотрим неравенство: 36 в степени икс - 5 • 6 в степени икс - 6 ≤ 0

Задача: решить неравенство 36^x - 5·6^x - 6 ≤ 0.

Пошаговое решение

1. Введём замену

• Пусть t = 6^x. Тогда t > 0 для любого действительного x.
• Замена даёт: 36^x = (6^2)^x = 6^{2x} = (6^x)^2 = t^2.

Итак неравенство превращается в квадратное по t: t^2 - 5t - 6 ≤ 0.

2. Решим квадратное неравенство

• Найдём корни квадратного многочлена t^2 - 5t - 6 = 0.
• Факториал: t^2 - 5t - 6 = (t - 6)(t + 1) = 0.
• Корни: t = 6 и t = -1.

Так как коэффицент перед t^2 положительный, парабола открывается вверх, и неравенство ≤ 0 выполняется на отрезке между корнями: t ∈ [-1, 6].

3. Учтём условие t = 6^x > 0

• Из интервала t ∈ [-1, 6] нас интересует пересечение с положительными t: t ∈ (0, 6].
• То есть 0 < t ≤ 6.

4. Обратное подстановке

• 0 < 6^x ≤ 6. Так как основание 6 > 1, функция 6^x возрастания, и неравенство 6^x ≤ 6 эквивалентно x ≤ 1.

5. Ответ

• Решение: x ≤ 1.

Проверка на границе:

• При x = 1: 36^1 - 5·6^1 - 6 = 36 - 30 - 6 = 0, т.е. верно включает точку 1.
• При x = 0: 1 - 5·1 - 6 = -10 ≤ 0, верно.

Итого: множество решений неравенства состоит из всех действительных x, не превосходящих 1.