Сумма цифр а и b равна 7. Докажите что число aba делится на 7

Решение.

Пусть a и b — цифры, a ≠ 0 (ведь число начинается с a). Условие: a + b = 7. Число aba равно 100a + 10b + a = 101a + 10b.

Работаем по модулю 7. В остатке по модулю 7 имеем:

• 101 ≡ 3 (mod 7), потому что 101 − 98 = 3;
• 10 ≡ 3 (mod 7), потому что 10 − 7 = 3.

Тогда aba = 101a + 10b ≡ 3a + 3b = 3(a + b) ≡ 3 · 7 ≡ 21 ≡ 0 (mod 7).

Следовательно, число aba делится на 7.

Пример для проверки: возьмём a = 5, b = 2 (поскольку a + b = 7). Тогда число ABA = 525, и 525 ÷ 7 = 75.