1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе.

Задача: В прямоугольном треугольнике гипотенуза AB = 10 см. Найдите медиану CM, проведенную к гипотенузе (M — середина AB). Решение (пошагово): 1) Обозначим треугольник ABC, где ∠C = 90°, гипотенуза AB = 10. Пусть M — середина гипотенузы AB, и CM — искомая медиана. 2) Свойство: в прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности, а расстояния от этой середины до всех трёх вершин равны половине гипотенузы. Это следует из того, что угол ACB равен 90°, и точка C лежит на окружности с диаметром AB (теорема Фалеса). Центр такой окружности — середина AB, то есть M. 3) Следовательно MA = MB = MC = AB/2. 4) Так как AB = 10, получаем MC = AB/2 = 5 см. Альтернативный подход (координатный): разместим C(0,0), A(a,0), B(0,b). Тогда AB = sqrt(a^2 + b^2) = 10. Медиана к AB идет к середине M(a/2, b/2). Расстояние CM = sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2) = (1/2) sqrt(a^2 + b^2) = 5. Ответ: 5 см.