Будет ли увеличиваться скорость ракеты, если скорость истечения газов относительно ракеты меньше скорости самой ракеты и вытекающие из сопла газы летят вслед за ракетой?

Коротко: да, скорость ракеты будет расти. Даже если скорость истечения газов относительно ракеты меньше скорости самой ракеты и вытекающие газы идут за ракетой, ракету все равно отбивает импульс от выдыхаемого газа согласно закону сохранения импульса. Ниже по шагам — почему и как посчитать.

Пошаговое объяснение

1. Введём переменные

• M — текущая масса ракеты (до истечения пропеллента).
• v — скорость ракеты по инерциальной системе координат (наблюдателя на земле).
• u — скорость истечения газа относительно ракеты (модуль, направлена назад по отношению к движению ракеты).
• dm — масса пропеллента, который вылетает за небольшое время dt. Пусть dm > 0 (то есть масса ракеты уменьшается на dM = -dm).

2. Скорость истечения газа в инерциальной системе Газы, выходящие из сопла, имеют скорость v_g = v − u (потому что газ движется назад относительно ракеты на скорости u, а ракета движется вперёд со скоростью v).

3. Применим закон сохранения импульса за малый интервал dt Изначальная масса и скорость дают импульс: P_i = M v. После истечения пропеллента масса ракеты становится M − dm, а её скорость становится v + dv. Газы же с массой dm движутся со скоростью v_g = v − u.

Сохранение импульса (игнорируем эффект гравитации и сопротивления за этот короткий промежуток): M v = (M − dm)(v + dv) + dm (v − u).

Упростим, не учитывая произведения dm·dv (малые величины): M v ≈ M v + M dv − v dm + dm v − dm u. Слева и справа M v и (− v dm + dm v) взаимно уничтожаются, остаётся: M dv ≈ u dm.

Отсюда dv ≈ (u / M) dm.

4. Что это означает -dv/dt = (u / M) (dm/dt). Тяга F получается как F = u (dm/dt) и направлена вперёд.

• Чтобы ракету ускорять, достаточно того, чтобы u > 0. Это не зависит от того, движется ли газ назад в системе координат или вперед (то есть даже если v_g > 0, т. е. вытекающие газы летят впереди ракеты или «за ней» в зависимости от отношения v и u).

5. Интегрируем для общей смены скорости Из dv = (u / M) dm получаем интегральное выражение: ΔV = ∫ dv = ∫ (u / M) dm.

Если за весь полёт масса уменьшается с M0 до Mf (Mf < M0), то: ΔV = u ln(M0 / Mf).

Это знаменитое уравнение ракеты (при условии, что u постоянное).

6. Конкретный ответ на условие задачи

• Ваша ситуация: скорость истечения газа относительно ракеты меньше скорости самой ракеты (u < v), и гази летят вслед за ракетой в инерциальной системе. Это означает, что v_g = v − u > 0 — газ летит вперёд вместе с ракетой, но медленнее её.
• Несмотря на то, что газ в окрестности земной системы движется не назад, а вперёд, импульс, который газ уносит, всё равно отличается от того, что было до истечения. В результате ракету «толкают» вперёд пропеллент и она ускоряется.
• Таким образом, скорость ракеты будет расти, пока идёт расход пропеллента и пока u > 0. Величина роста задаётся формулой ΔV = u ln(M0 / Mf).

7. Небольшой численный пример (наглядность) Пусть начальная масса M0 = 1000 кг, после сгорания осталось Mf = 900 кг, относительная скорость истечения u = 2500 м/с. Тогда общая прибавка скорости: ΔV = 2500 * ln(1000/900) ≈ 2500 * 0.1053 ≈ 263 м/с. Это означает, что даже при условии, что газ после выхода идёт вперёд относительно Земли, ракета увеличит свою скорость примерно на 263 м/с.

8. Что важно помнить

• Это в вакууме или без учёта сопротивления воздуха. В атмосфере есть дополнительная сила сопротивления и подъемно-силовые эффекты, которые изменят общую «эффективность» газодинамики.
• Ускорение зависит от скорости истечения u и от текущей массы M: чем больше u и чем меньше Mf по отношению к M0, тем больше ΔV.
• Не путайте направление мгновенного движения газа в системе отсчёта и направление импульса, который передаётся ракете. Точка в том, что реактивная тяга зависит от скорости истечения относительно ракеты, а не от того, куда именно газ движется в некоей другой системе координат.

Заключение Да, ракету будет ускорять. Даже если скорость истечения газов меньше скорости ракеты и из сопла газы идут «за ракетой» (в инерциальной системе газа может двигаться вперёд), закон сохранения импульса и формула ΔV = u ln(M0/Mf) показывают, что скорость ракеты растёт до тех пор, пока есть расход пропеллента и u > 0.