Дана прямоугольная трапеция ABCD с прямым углом A и основаниями AD и BC . Точка N — середина стороны CD . Известно, что AN=2AB и AN⊥CD . Найдите отношение оснований AD :BC .
Разберём задачу пошагово, задав удобную координатную систему.
- Установка координат
- Пусть A = (0, 0).
- Так как угол A равен 90°, AB перпендикулярна AD. Пусть AD лежит по оси x, D = (d, 0) с d > 0.
- Так как BC — вторая параллельная основанию AD база, то B = (0, h) и C = (c, h) с h > 0 и BC = c.
- Н — середина CD: N = ((c + d)/2, h/2).
Условие AN ⟂ CD Вектор AN = N − A = ((c + d)/2, h/2). Вектор CD = D − C = (d − c, −h). Пересечение AN и CD в ноль скалярно: ((c + d)/2, h/2) · (d − c, −h) = 0 => (c + d)(d − c) − h^2 = 0 => d^2 − c^2 = h^2. (1)
Условие AN = 2 AB AB = h, AN = |AN| = (1/2)√[(c + d)^2 + h^2]. По условию AN = 2 AB: (1/2)√[(c + d)^2 + h^2] = 2h. Отсюда (c + d)^2 + h^2 = 16h^2 => (c + d)^2 = 15 h^2. (2)
Найдём отношение AD:BC Из (1) и (2) получаем систему:
- h^2 = d^2 − c^2
- (c + d)^2 = 15 h^2 = 15(d^2 − c^2)
Раскроем и приведём к квадратному уравнению для отношения r = d/c (> 0): (c + d)^2 = 15(d^2 − c^2) => (c^2 + 2cd + d^2) = 15d^2 − 15c^2 => 16c^2 + 2cd − 14d^2 = 0 => 8c^2 + cd − 7d^2 = 0.
Пусть r = d/c. Тогда 8 + r − 7r^2 = 0. Решение: r = (1 + √(1 + 224)) / 14 = (1 + 15) / 14 = 16/14 = 8/7 (положительное решение).
Значит, d/c = 8/7, т.е. AD:BC = d:c = 8:7.
- Проверка (необязательно, но наглядно) Пусть BC = c = 7k, AD = d = 8k. Тогда h^2 = d^2 − c^2 = 64k^2 − 49k^2 = 15k^2, т.е. h = √15 · k. Проверка AN: AN = (1/2)√[(c + d)^2 + h^2] = (1/2)√[(15k)^2 + (√15 k)^2] = (1/2)√(225k^2 + 15k^2) = (1/2)√(240)k = 2√15 k = 2 AB. Также AN ⟂ CD выполняется через h^2 = d^2 − c^2.
Ответ: AD : BC = 8 : 7.
