1. Периметр прямоугольника 26 см, одна из его сторон 8 см. Найдите площадь прямоугольника. 2. Площадь квадрата 81 кв. см. Найдите его периметр. 3. Площадь прямоугольника 120 кв.…

Ниже даны подробные пошаговые решения к каждому пункту. Текст рассчитан на общий уровень средней школы.

1. Периметр 26 см, одна сторона 8 см. Найдём вторую сторону x.

• 2(8 + x) = 26 → 8 + x = 13 → x = 5
• Площадь = 8 × 5 = 40 см²

2. Площадь квадрата 81 см². Найдём сторону s и периметр.

• s = √81 = 9 см
• Периметр = 4s = 36 см

3. Площадь прямоугольника 120 см², одна сторона 10 см. Найдём другую сторону x.

• 10x = 120 → x = 12
• Периметр = 2(10 + 12) = 44 см

4. Периметр квадрата 40 см. Найдём сторону и площадь.

• s = 40/4 = 10 см
• Площадь = s² = 100 см²

5. Диагональ прямоугольника d = 10 см, одна сторона a = 6 см. Найдём другую сторону b и площади/perimeter.

• d² = a² + b² → 100 = 36 + b² → b² = 64 → b = 8 см
• Площадь = a × b = 6 × 8 = 48 см²
• Периметр = 2(a + b) = 2(6 + 8) = 28 см

6. Радиус circumscribed circle around квадрат R = 4 см. Найдём периметр и площадь квадрата.

• Диагональ квадрата d = 2R = 8 см
• Сторона s = d/√2 = 8/√2 = 4√2 см
• Площадь = s² = (4√2)² = 32 см²
• Периметр = 4s = 16√2 ≈ 22.63 см

7. Радиус вписанной окружности в квадрат r = 8 см. Найдём площадь и периметр квадрата.

• В квадрате радиус вписанной окружности равен половине стороны: r = s/2 → s = 16 см
• Площадь = s² = 256 см²
• Периметр = 4s = 64 см

8. Отношение сторон прямоугольника 1:4, периметр 60 см. Найдём периметр квадрата с той же площадью.

• Пусть стороны a = x и b = 4x. Периметр 2(x + 4x) = 10x = 60 → x = 6
• Размеры прямоугольника: 6 и 24, площадь = 6 × 24 = 144 см²
• Квадрат с той же площадью имеет сторону s = √144 = 12 см, периметр = 4s = 48 см

9. Прямоугольник: одна сторона в 2 раза больше другой; периметр 18 см. Найдём диагональ равновеликого квадрата.

• Пусть стороны a и 2a. 2(a + 2a) = 6a = 18 → a = 3, другая сторона = 6
• Площадь прямоугольника = a × 2a = 3 × 6 = 18 см²
• Площадь равновеликого квадрата равна 18, его сторона s = √18 = 3√2, диагональ d = s√2 = 3√2·√2 = 6 см

10. Трапеция со сторонами 10, 10, 10 и 22. Предположим, что основания равны 22 и 10, боковые стороны — 10 и 10 (типичная изотропная trapezoid). Найдём площадь.

• Разность оснований: (22 − 10) / 2 = 6
• Гипотенуза стороны-наклонной: 10² = h² + 6² → h² = 100 − 36 = 64 → h = 8
• Площадь = (22 + 10)/2 × 8 = 32/2 × 8 = 16 × 8 = 128 см²

11. В трапецию, основания 3 и 5 см, вписана окружность радиуса 2 см. Найдём площадь и периметр.

• Вписанная окружность касается всех сторон; расстояние между основаниями равно диаметру окружности: h = 2r = 4 см
• Площадь = (сумма оснований)/2 × высота = (3 + 5)/2 × 4 = 8/2 × 4 = 4 × 4 = 16 см²
• Так как трапеция теперe касательная к окружности, сумма противоположных сторон равна: осн. 3 + 5 = боковые c + d, следовательно p = a + b + c + d = 3 + 5 + (c + d) = 8 + 8 = 16 см

12. Средняя линия трапеции равна 10 см, высота 8 см. Найдём площадь.

• Площадь трапеции = средняя линия × высота = 10 × 8 = 80 см²

13. Площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см.

• Площадь = (√3/4) a² = (√3/4) × 36 = 9√3 ≈ 15.59 см²
• Периметр = 3a = 18 см

14. Основание 8 см, боковая сторона 5 см. Найдём площадь и периметр равнобедренного треугольника.

• Половина основания = 4; высота h = √(5² − 4²) = √(25 − 16) = √9 = 3 см
• Площадь = (основание × высота)/2 = 8 × 3 / 2 = 12 см²
• Периметр = 8 + 2×5 = 18 см

15. Стороны треугольника 60, 61 и 11. Найдём площадь по формуле Герона.

• s = (60 + 61 + 11)/2 = 132/2 = 66
• Площадь = √[s(s − a)(s − b)(s − c)] = √[66 × 6 × 5 × 55] = √(66 × 6 × 5 × 55)
• Вычисление: 66×6×5×55 = (66×55)×30 = 3630×30 = 108900; √108900 = 330
• Площадь = 330 см²

16. Равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см.

• В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны a = b, гипотенуза c = a√2 → a = c/√2 = 10/√2 = 5√2
• Площадь = (1/2)ab = (1/2)(5√2)(5√2) = (1/2)·50 = 25 см²

17. Высота, опущенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, когда катеты 8 и 15.

• Гипотенуза c = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17
• Высота к гипотенузе h = (a·b)/c = (8·15)/17 = 120/17 ≈ 7.06 см

18. Катет 12 см, гипотенуза 20 см. Найдём периметр и площадь.

• Другой катет b = √(20² − 12²) = √(400 − 144) = √256 = 16
• Периметр = 12 + 16 + 20 = 48 см
• Площадь = (1/2)·12·16 = 96 см²

19. Треугольник со сторонами 5, 5 и 8. Найдём площадь.

• s = (5 + 5 + 8)/2 = 9
• Площадь = √[s(s − a)(s − b)(s − c)] = √[9·4·4·1] = √144 = 12 см²
• Периметр = 5 + 5 + 8 = 18 см

20. Диагонали ромба 12 см и 35 см. Найдём площадь и периметр.

• Площадь = (d1 × d2)/2 = (12 × 35)/2 = 210/2 = 210? Исправлю: (12×35)/2 = 210 Ошибка исправления: 12×35 = 420; 420/2 = 210. Значит площадь равна 210 см².
• Радиус стороны: сторона ромба s = √[(d1/2)² + (d2/2)²] = √(6² + 17.5²) = √(36 + 306.25) = √342.25 = 18.5
• Периметр = 4s = 74 см

21. Диагонали 24 см и 10 см. Найдём площадь и периметр.

• Площадь = (d1 × d2)/2 = (24 × 10)/2 = 240/2 = 120 см²
• Полудиагонали: p = d1/2 = 12, q = d2/2 = 5; сторона ромба s = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13
• Периметр = 4s = 52 см

22. Площадь ромба с периметром 40 см и диагональю 12 см.

• Периметр = 40 → сторона s = 40/4 = 10
• Пусть диагонали p = 12 и q — другая диагональ. Изrelation p² + q² = 4s²: q² = 4s² − p² = 4·100 − 144 = 400 − 144 = 256 → q = 16
• Площадь = (p × q)/2 = (12 × 16)/2 = 192/2 = 96 см²

23. Площадь ромба со стороной 6 см и острим углом 30°.

• Площадь ромба = s² sin(угол между сторонами) = 6² · sin 30° = 36 · 1/2 = 18 см²
• Периметр = 4s = 24 см

24. Параллелограмм со сторонами 5 см и 8 см и углом 60°. Найдём площадь и периметр.

• Площадь = ab sin(θ) = 5 · 8 · sin 60° = 40 · (√3/2) = 20√3 ≈ 34.64 см²
• Периметр = 2(5 + 8) = 26 см

Если хотите, могу привести решения в виде компактной таблицы или подробнее пояснить конкретные пункты. Также могу адаптировать стиль объяснений под ваш уровень или формат занятия.