В июле 2026 года планируется взять кредит на сумму 2 549 800 рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;…
В июле 2026 года планируется взять кредит на сумму 2 549 800 рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом. Кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (за четыре года). Найдите общую сумму платежей, которая будет выплачена за весь период кредитования.
Ключевая идея: годовую динамику долга задаём рекуррентно. Пусть
- P0 = 2 549 800 (начальная сумма кредита, июль 2026 года),
- A — равный ежегодный платеж, который в феврале–июне каждого года выплачивают один раз за год (за 4 года долг будет полностью выплачен).
Каждый январь долг увеличивается на 20%, затем в течение года выплачивается один платеж A. Обозначим En — остаток долга на конец года n (до следующего января). Тогда:
- E0 = P0,
- E1 = 1.2 E0 − A,
- E2 = 1.2 E1 − A,
- E3 = 1.2 E2 − A,
- E4 = 1.2 E3 − A.
Поскольку кредит погашен за 4 года, E4 = 0. Решим уравнение по A через E0.
В дробях:
- E1 = (6/5)E0 − A
- E2 = (6/5)E1 − A = (36/25)E0 − (11/5)A
- E3 = (6/5)E2 − A = (216/125)E0 − (91/25)A
- E4 = (6/5)E3 − A = (1296/625)E0 − (671/125)A
Отсюда 0 = E4 = (1296/625)E0 − (671/125)A, следовательно A = (1296/625) ÷ (671/125) · E0 = (1296/3355) · E0.
Подставляем E0 = P0: A = (1296/3355) · 2 549 800 = 984 960 рублей.
Итого за четыре года суммарно выплатим 4A: 4 · 984 960 = 3 939 840 рублей.
Проверка динамики:
- E0 = 2 549 800
- E1 = 1.2·E0 − A = 3 059 760 − 984 960 = 2 074 800
- E2 = 1.2·E1 − A = 2 489 760 − 984 960 = 1 504 800
- E3 = 1.2·E2 − A = 1 805 760 − 984 960 = 820 800
- E4 = 1.2·E3 − A = 984 960 − 984 960 = 0
Ответ: общая сумма платежей за весь период кредитования составляет 3 939 840 рублей.
