решите систему уравнений х²+у²=50 ху=7
Задача: решить систему
- x^2 + y^2 = 50
- xy = 7
Пошаговое решение (практика для 9 класса, понятно и подробно):
Найдем сумму x + y с помощью формулы (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy. Подставим данные: (x + y)^2 = 50 + 2·7 = 50 + 14 = 64. Значит, x + y = ±8.
Рассмотрим два случая по сумме S = x + y.
Случай A: S = 8. Тогда x и y — корни квадратного уравнения t^2 − S t + P = 0, где P = xy = 7. Получаем t^2 − 8t + 7 = 0. Дискриминант Δ = 64 − 28 = 36, корни t = (8 ± 6)/2 = 7 и 1. Значит, парные решения: (x, y) = (7, 1) или (1, 7).
Случай B: S = −8. Уравнение t^2 − (−8)t + 7 = t^2 + 8t + 7 = 0. Дискриминант Δ = 64 − 28 = 36, корни t = (−8 ± 6)/2 = −1 и −7. Значит, парные решения: (x, y) = (−1, −7) или (−7, −1).
- В итоге получаем все решения (в порядке как упорядоченные пары):
- (x, y) = (7, 1), (1, 7), (−1, −7), (−7, −1).
Проверка на каждом шаге (быстрая):
- 7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50, и 7·1 = 7 — верно.
- −1^2 + (−7)^2 = 1 + 49 = 50, и (−1)(−7) = 7 — верно.
Дополнительный альтернативный способ (для понимания):
- Подставить y = 7/x в x^2 + y^2 = 50: x^2 + (49/x^2) = 50 ⇒ x^4 − 50x^2 + 49 = 0. Обозначим z = x^2: z^2 − 50z + 49 = 0 ⇒ z = 49 или z = 1. Отсюда x = ±7 или x = ±1, и соответствующая y = 7/x даёт те же четыре пары.
Если нужно, могу разобрать любую часть подробнее или показать другие способы проверки.
