Построить схематично график, верно показав, пересечение с абсциссой, промежутки монотонности, все асимптоты провести пунктиром, показать локальные эксремумы (нули производной),…

Задача: построить схематично график функции f(x) = x / (x^2 + 1) и отметить все запрошенные элементы.

Ключевые данные о функции

• Область определения: все вещественные числа.
• Горизонтальная асимптота: y = 0 (пунктиром). Визуально график стремится к 0 при x → ±∞.
• Вертикальные асимптоты: отсутствуют (никакой точки разрыва, denominator x^2+1 никогда не равен нулю).
• Пересечение с осью абсцисс (осью x): при x = 0, точка (0, 0). Это же точка пересечения с осью ординат.
• Пересечение с осью ординат: тоже (0, 0).
• Признаки экстремумов (где производная = 0): x = -1 и x = 1.
  • f(-1) = -1/2, f(1) = 1/2.
  • Ставит максимум в x = 1 (переход с возрастания на убывание), минимум в x = -1 (переход с убывания на возрастание).
• Признаки перегиба (точки смены знака второй производной): x = -√3, 0, √3. Соответствующие значения: f(-√3) = -√3/4, f(0) = 0, f(√3) = √3/4.

Пошаговое решение (для “Понять”)

1. Найдём первую производную f(x) = x/(x^2+1) f'(x) = [(x^2+1)·1 - x·(2x)] / (x^2+1)^2 = (1 - x^2) / (x^2+1)^2. Знак f'(x) определяется по числителю 1 - x^2.

   • возрастание: |x| < 1
   • стационарные точки: x = ±1 (f'(x) = 0)
   • убывание: |x| > 1

2. Монтоно́мность (промежутки возрастания/убывания)

   • на (-∞, -1): f'(x) < 0 → убывание
   • на (-1, 1): f'(x) > 0 → возрастание
   • на (1, ∞): f'(x) < 0 → убывание Значит локальные экстремумы в:
   • x = -1: минимум, f(-1) = -1/2
   • x = 1: максимум, f(1) = 1/2

3. Найдём вторую производную для точек перегиба f'(x) = (1 - x^2) / (x^2+1)^2 f''(x) = [-2x(3 - x^2)] / (x^2+1)^3 Числитель нулевой при x = 0 и x^2 = 3 (то есть x = ±√3). Под знаками смены знака второй производной проверяем интервалы: -(-∞, -√3): f'' < 0 -(-√3, 0): f'' > 0 -(0, √3): f'' < 0 -(√3, ∞): f'' > 0 Следовательно, точки перегиба в x = -√3, 0, √3. Значения функций в этих точках:

   • f(-√3) = -√3 / ( (√3)^2 + 1 ) = -√3 / 4
   • f(0) = 0
   • f(√3) = √3 / 4

4. Поведение на бесконечности и пересечения осей

   • При больших |x|: f(x) ~ x/x^2 = 1/x, следовательно f(x) → 0.
   • Сигнал на ось y: f(0) = 0, график пересекает ось ординат в начале координат.
   • График слева от нуля отрицательный (для больших отрицательных x f(x) ~ 1/x < 0), справа положительный.

Схематичное изображение графика (построение на основе описанных точек)

• Асимптота: горизонтальная y = 0 (пунктиром). Вертикальные асимптоты отсутствуют.
• Точка пересечения x-оси: (0, 0).
• Экстремумы:
  • локальный минимум в (-1, -1/2)
  • локальный максимум в (1, 1/2)
• Точки перегиба: (-√3, -√3/4), (0, 0), (√3, √3/4)
• Прямые указатели монотонности:
  • убывание на (-∞, -1] и [1, ∞)
  • возрастание на [-1, 1]
• Форма графика:
  • Функция отрицательная слева, приближаясь к 0 снизу при x → -∞.
  • В точке x = -1 достигает минимума -1/2, затем возрастает.
  • В точке x = 0 проходит через точку (0,0) с сменой характера (инфлексия): график плавно изгибается и продолжает расти.
  • В точке x = 1 достигает максимума 1/2, затем убывает и стремится к 0 сверху при x → ∞.
  • График симметричен относительно начала координат (функция нечетная): f(-x) = -f(x).

Коротко в виде списка ключевых точек

• f(x) = x/(x^2+1)
• f'(x) = (1 - x^2)/(x^2+1)^2
• критические точки: x = -1 (минимум), x = 1 (максимум)
• f(-1) = -1/2, f(1) = 1/2
• f''(x) = -2x(3 - x^2) / (x^2+1)^3
• инфлексные точки: x = -√3, 0, √3
• значения: f(-√3) = -√3/4, f(0) = 0, f(√3) = √3/4
• горизонтальная асимптота: y = 0
• вертикальных асимптот нет
• пересечение с осью x: (0, 0)

Если хотите, могу нарисовать упрощённый чертёж ASCII-графика, либо подготовить готовую схему для печати/рисования на листе с указанными точками.