Построить схематично график, верно показав, пересечение с абсциссой, промежутки монотонности, все асимптоты провести пунктиром, показать локальные эксремумы (нули производной), показать точки перегиба для : х/ х в квадрате +1

Задача: построить схематично график функции f(x) = x / (x^2 + 1) и отметить все запрошенные элементы. Ключевые данные о функции - Область определения: все вещественные числа. - Горизонтальная асимптота: y = 0 (пунктиром). Визуально график стремится к 0 при x → ±∞. - Вертикальные асимптоты: отсутствуют (никакой точки разрыва, denominator x^2+1 никогда не равен нулю). - Пересечение с осью абсцисс (осью x): при x = 0, точка (0, 0). Это же точка пересечения с осью ординат. - Пересечение с осью ординат: тоже (0, 0). - Признаки экстремумов (где производная = 0): x = -1 и x = 1. - f(-1) = -1/2, f(1) = 1/2. - Ставит максимум в x = 1 (переход с возрастания на убывание), минимум в x = -1 (переход с убывания на возрастание). - Признаки перегиба (точки смены знака второй производной): x = -√3, 0, √3. Соответствующие значения: f(-√3) = -√3/4, f(0) = 0, f(√3) = √3/4. Пошаговое решение (для “Понять”) 1) Найдём первую производную f(x) = x/(x^2+1) f'(x) = [(x^2+1)·1 - x·(2x)] / (x^2+1)^2 = (1 - x^2) / (x^2+1)^2. Знак f'(x) определяется по числителю 1 - x^2. - возрастание: |x| < 1 - стационарные точки: x = ±1 (_f'(x) = 0_) - убывание: |x| > 1 2) Монтоно́мность (промежутки возрастания/убывания) - на (-∞, -1): f'(x) < 0 → убывание - на (-1, 1): f'(x) > 0 → возрастание - на (1, ∞): f'(x) < 0 → убывание Значит локальные экстремумы в: - x = -1: минимум, f(-1) = -1/2 - x = 1: максимум, f(1) = 1/2 3) Найдём вторую производную для точек перегиба f'(x) = (1 - x^2) / (x^2+1)^2 f''(x) = [-2x(3 - x^2)] / (x^2+1)^3 Числитель нулевой при x = 0 и x^2 = 3 (то есть x = ±√3). Под знаками смены знака второй производной проверяем интервалы: -(-∞, -√3): f'' < 0 -(-√3, 0): f'' > 0 -(0, √3): f'' < 0 -(√3, ∞): f'' > 0 Следовательно, точки перегиба в x = -√3, 0, √3. Значения функций в этих точках: - f(-√3) = -√3 / ( (√3)^2 + 1 ) = -√3 / 4 - f(0) = 0 - f(√3) = √3 / 4 4) Поведение на бесконечности и пересечения осей - При больших |x|: f(x) ~ x/x^2 = 1/x, следовательно f(x) → 0. - Сигнал на ось y: f(0) = 0, график пересекает ось ординат в начале координат. - График слева от нуля отрицательный (для больших отрицательных x f(x) ~ 1/x < 0), справа положительный. Схематичное изображение графика (построение на основе описанных точек) - Асимптота: горизонтальная y = 0 (пунктиром). Вертикальные асимптоты отсутствуют. - Точка пересечения x-оси: (0, 0). - Экстремумы: - локальный минимум в (-1, -1/2) - локальный максимум в (1, 1/2) - Точки перегиба: (-√3, -√3/4), (0, 0), (√3, √3/4) - Прямые указатели монотонности: - убывание на (-∞, -1] и [1, ∞) - возрастание на [-1, 1] - Форма графика: - Функция отрицательная слева, приближаясь к 0 снизу при x → -∞. - В точке x = -1 достигает минимума -1/2, затем возрастает. - В точке x = 0 проходит через точку (0,0) с сменой характера (инфлексия): график плавно изгибается и продолжает расти. - В точке x = 1 достигает максимума 1/2, затем убывает и стремится к 0 сверху при x → ∞. - График симметричен относительно начала координат (функция нечетная): f(-x) = -f(x). Коротко в виде списка ключевых точек - f(x) = x/(x^2+1) - f'(x) = (1 - x^2)/(x^2+1)^2 - критические точки: x = -1 (минимум), x = 1 (максимум) - f(-1) = -1/2, f(1) = 1/2 - f''(x) = -2x(3 - x^2) / (x^2+1)^3 - инфлексные точки: x = -√3, 0, √3 - значения: f(-√3) = -√3/4, f(0) = 0, f(√3) = √3/4 - горизонтальная асимптота: y = 0 - вертикальных асимптот нет - пересечение с осью x: (0, 0) Если хотите, могу нарисовать упрощённый чертёж ASCII-графика, либо подготовить готовую схему для печати/рисования на листе с указанными точками.