x^4=(4x-5)^4

Задача: x^4 = (4x - 5)^4

Цель: понять решение подробно.

Пояснение и решение

• Так как обе стороны возведены в четвертую степень, из равенства следует, что модули значений внутри степеней равны: |x| = |4x - 5|.
• Далее решаем уравнение по модулю, например путём возведения в квадрат (или просто разложив по случаям модулей): x^2 = (4x - 5)^2.
• Раскрываем скобки: x^2 = 16x^2 - 40x + 25.
• Переносим все в одну часть: 0 = 15x^2 - 40x + 25.
• Упростим, разделив на 5: 0 = 3x^2 - 8x + 5.
• Решаем квадратное уравнение: дискриминант D = (-8)^2 - 4·3·5 = 64 - 60 = 4. Корни: x = [8 ± √4] / (2·3) = [8 ± 2] / 6. Получаем x = 10/6 = 5/3 и x = 6/6 = 1.
• Проверка: подставим оба значения обратно в исходное уравнение. • x = 5/3: левая и правая части равны (5/3)^4. • x = 1: левая часть 1^4 = 1, правая: (4·1 - 5)^4 = (-1)^4 = 1. Оба решения верны.

Ответ

• x = 1
• x = 5/3

Дополнительный комментарий

• В общем виде для уравнений вида a^4 = b^4 верно |a| = |b|, что приводит к решениям a = ± b. Здесь это даёт те же два корня: x = 4x - 5 и x = -(4x - 5), что и дает x = 5/3 и x = 1.