решить неравенство

Ниже подробное решение трёх неравенств из задачи.

1. Неравенство: -3 tan(x + π/6) > √3

• Разделим на -3 (и знак неравенства поменяется): tan(x + π/6) < -√3/3.
• Значение tan α = -√3/3 при α = -π/6 + kπ, k ∈ Z.
• Тангенс возрастает на каждом промежутке (-π/2 + kπ, π/2 + kπ). Чтобы tan(y) < -√3/3, имеем y ∈ (-π/2 + kπ, -π/6 + kπ).
• Подставим y = x + π/6: x + π/6 ∈ (-π/2 + kπ, -π/6 + kπ).
• Значит x ∈ (-π/2 - π/6 + kπ, -π/6 - π/6 + kπ) = (-2π/3 + kπ, -π/3 + kπ).

Итог: x ∈ ⋃_{k∈Z} (kπ - 2π/3, kπ - π/3).

2. Неравенство: cos(2x - π/3) ≤ 1/2

• Обозначим t = 2x - π/3. Решим cos t ≤ 1/2.
• В пределах одной траектории cos t ≤ 1/2 на отрезке t ∈ [π/3, 5π/3] (модуль 2π). То есть t ∈ [π/3 + 2πk, 5π/3 + 2πk], k ∈ Z.
• Теперь вернемся к x: 2x - π/3 ∈ [π/3 + 2πk, 5π/3 + 2πk]. Добавим π/3: 2x ∈ [2π/3 + 2πk, 2π + 2πk]. Разделим на 2: x ∈ [π/3 + kπ, π + kπ].
• Итог: x ∈ ⋃_{k∈Z} [π/3 + kπ, π + kπ].

3. Неравенство: tan(2x - π/4) > 1

• Пусть u = 2x - π/4. Неравенство tan u > 1.
• Решение: u ∈ (π/4 + kπ, π/2 + kπ), k ∈ Z.
• Преобразуем обратно к x: 2x - π/4 ∈ (π/4 + kπ, π/2 + kπ). Добавим π/4: 2x ∈ (π/2 + kπ, 3π/4 + kπ). Разделим на 2: x ∈ (π/4 + kπ/2, 3π/8 + kπ/2).
• Итог: x ∈ ⋃_{k∈Z} (π/4 + kπ/2, 3π/8 + kπ/2).

Кратко резюме решений:

• Для первого неравенства: x ∈ ⋃_{k∈Z} (kπ - 2π/3, kπ - π/3)
• Для второго: x ∈ ⋃_{k∈Z} [π/3 + kπ, π + kπ]
• Для третьего: x ∈ ⋃_{k∈Z} (π/4 + kπ/2, 3π/8 + kπ/2)

Если хочешь, могу привести графическое представление или проверить конкретные значения x на примерах.