Докажите, что если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, перпендикулярны, то его диагонали равны

Задача: показать, что если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, перпендикулярны, то диагонали этого четырехугольника равны. Обозначения: - Пусть ABCD — любой четырехугольник. - E — середина AB, F — середина BC, G — середина CD, H — середина DA. Построения и вычисления: 1) Векторы позиций вершин обозначим как a, b, c, d в плоскости. Тогда координаты середин: - E = (a + b)/2, F = (b + c)/2, G = (c + d)/2, H = (d + a)/2. 2) Векторы между противоположными серединами: - EG = G − E = (c + d − a − b)/2, - FH = H − F = (d + a − b − c)/2. 3) Условие перпендикулярности: EG ⟂ FH значит (c + d − a − b) · (d + a − b − c) = 0. (скалярное произведение равно нулю, умножаем на 4, чтобы убрать деление на 2) 4) Введем удобные обозначения: - S1 = C − A (вектор диагонали AC), - S2 = D − B (вектор диагонали BD). Тогда: - c + d − a − b = (c − a) + (d − b) = S1 + S2, - d + a − b − c = (d − b) + (a − c) = S2 − S1. 5) Подстановка в условие перпендикулярности: (S1 + S2) · (S2 − S1) = 0 = S1·S2 − S1·S1 + S2·S2 − S2·S1 = |S2|^2 − |S1|^2 (так как S1·S2 − S2·S1 = 0). Получаем: |S2|^2 = |S1|^2. 6) Это означает, что квадрат длины вектора BD равен квадрату длины вектора AC: |BD|^2 = |AC|^2, следовательно BD = AC. Заключение: Если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, взаимно перпендикулярны, то диагонали этого четырехугольника равны.