log4(x²-4x)=log4(x²+3)

Решение задачи: log4(x^2 - 4x) = log4(x^2 + 3)

1. Область определения (аргументы логарифмов должны быть положительны)

• x^2 + 3 > 0 всегда выполняется для всех x.
• x^2 - 4x > 0. Преобразуем: x(x - 4) > 0. Это неравенство выполняется при x < 0 или x > 4. Итак, допустимыми являются x в (-∞, 0) ∪ (4, ∞).

2. Свойство логарифмов Основание 4 > 1, значит логарифмы равны тогда и только тогда, когда их аргументы равны: x^2 - 4x = x^2 + 3.

3. Решение уравнения Убираем x^2 слева: -4x = 3 → x = -3/4.

4. Проверка условий области x = -3/4 попадает в допустимую область (x < 0). Проверим аргументы:

• x^2 - 4x = (-3/4)^2 - 4(-3/4) = 9/16 + 3 = 57/16 > 0
• x^2 + 3 = 9/16 + 3 = 57/16 > 0 Оба аргумента положительны, значит корень допустим.

Ответ: x = -3/4.