4х2-9>0 решить и построить числовую прямую

Давайте подробно разберем решение неравенства \(4x^2 - 9 > 0\).

Шаг 1: Преобразование неравенства

Мы начнем с неравенства: \[ 4x^2 - 9 > 0 \] Это неравенство можно записать в виде разности квадратов: \[ (2x)^2 - 3^2 > 0 \] Теперь мы можем использовать формулу разности квадратов: \[ (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b) \] где \(a = 2x\) и \(b = 3\): \[ (2x - 3)(2x + 3) > 0 \]

Шаг 2: Нахождение нулей

Теперь определим, при каких значениях \(x\) произведение \((2x - 3)(2x + 3)\) равно нулю:

1. \(2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)
2. \(2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}\)

Таким образом, нули функции: \(x_1 = -\frac{3}{2}\) и \(x_2 = \frac{3}{2}\).

Шаг 3: Разбиение на интервалы

Определим промежутки, которые получаются на числовой прямой. У нас есть точки:

• \(-\frac{3}{2}\)
• \(\frac{3}{2}\)

Эти точки делят числовую прямую на три интервала:

1. \((-∞, -\frac{3}{2})\)
2. \((- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})\)
3. \((\frac{3}{2}, ∞)\)

Шаг 4: Выбор тестовых значений

Теперь выберем тестовые значения из каждого интервала, чтобы определить, где произведение положительно:

1. Для интервала \((-∞, -\frac{3}{2})\): возьмем \(x = -2\) \[ 2x - 3 = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7 \quad (< 0) \] \[ 2x + 3 = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 \quad (< 0) \] Признак: \((-7) \cdot (-1) > 0\) (положительно).

2. Для интервала \((- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})\): возьмем \(x = 0\) \[ 2x - 3 = 2(0) - 3 = -3 \quad (< 0) \] \[ 2x + 3 = 2(0) + 3 = 3 \quad (> 0) \] Признак: \((-3) \cdot (3) < 0\) (отрицательно).

3. Для интервала \((\frac{3}{2}, ∞)\): возьмем \(x = 2\) \[ 2x - 3 = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 \quad (> 0) \] \[ 2x + 3 = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 \quad (> 0) \] Признак: \(1 \cdot 7 > 0\) (положительно).

Шаг 5: Сбор решений

Теперь подытожим:

• У нас положительное значение в интервалах \((-∞, -\frac{3}{2})\) и \((\frac{3}{2}, ∞)\).
• В промежутке \((- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})\) значение отрицательное.

Поскольку в неравенстве стоит знак "больше", мы исключаем нули \(-\frac{3}{2}\) и \(\frac{3}{2}\) из решения.

Итоговое решение:

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-∞, -\frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, ∞) \]

Шаг 6: Числовая прямая

На числовой прямой:

• Отметим точки \(-\frac{3}{2}\) и \(\frac{3}{2}\) как открытые (кружки).
• Заштрихуем области слева от \(-\frac{3}{2}\) и справа от \(\frac{3}{2}\).

Это окончательное решение неравенства! Если есть вопросы или нужна помощь с другим заданием, дайте знать!