206x⁴-205x²-1=0

Задача: 206x^4 − 205x^2 − 1 = 0

Подход 1. Замена y = x^2 (бикубатное уравнение)

1. Так как уравнение содержит только x^4 и x^2, вводим переменную y = x^2 (y ≥ 0).
2. Получаем квадратное уравнение для y: 206y^2 − 205y − 1 = 0.
3. Найдем дискриминант: D = (−205)^2 − 4·206(−1) = 205^2 + 824 = 42025 + 824 = 42849.
4. Заметим, что 42849 = 207^2, потому корни равны: y = [205 ± 207] / (2·206) = (205 ± 207) / 412.
   • y1 = (205 + 207)/412 = 412/412 = 1
   • y2 = (205 − 207)/412 = −2/412 = −1/206
5. Поскольку y = x^2 ≥ 0, второй корень y2 не годится для действительных x. Значит y = 1.
6. Из y = x^2 следует x^2 = 1 ⇒ x = ±1.
7. Реальные корни: x = −1 и x = 1. (Если учитывать комплексные корни, из y2 получаются x^2 = −1/206, то x = ± i/√206.)

Подход 2. Факторизация

1. Поскольку произведение двух квадратных множителей даёт коэффициенты 206 и −1 для BD, можно попробовать (206x^2 + B)(x^2 + D) с BD = −1.
2. Попробуем B = 1, D = −1. Тогда произведение даёт коэффициент при x^2: −206 + 1 = −205, что совпадает. Также AC = 206 и BD = −1 удовлетворяют.
3. В итоге имеем факторизацию: (206x^2 + 1)(x^2 − 1) = 0.
4. Решаем: либо x^2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1, либо 206x^2 + 1 = 0 ⇒ x^2 = −1/206 ⇒ x = ± i/√206.
5. Реальные корни те же: x = −1, x = 1. Дополнительные комплексные корни: x = ± i/√206.

Итог

• Реальные корни: x = −1 и x = 1.
• Все корни (если допускаем комплексные): x = −1, x = 1, x = i/√206, x = −i/√206.

Проверка (для любых корней): подстановкой x = ±1 в 206x^4 − 205x^2 − 1 даёт 206·1 − 205·1 − 1 = 0. Это подтверждает правильность решений.