206x⁴-205x²-1=0

Задача: 206x^4 − 205x^2 − 1 = 0 Подход 1. Замена y = x^2 (бикубатное уравнение) 1) Так как уравнение содержит только x^4 и x^2, вводим переменную y = x^2 (y ≥ 0). 2) Получаем квадратное уравнение для y: 206y^2 − 205y − 1 = 0. 3) Найдем дискриминант: D = (−205)^2 − 4·206(−1) = 205^2 + 824 = 42025 + 824 = 42849. 4) Заметим, что 42849 = 207^2, потому корни равны: y = [205 ± 207] / (2·206) = (205 ± 207) / 412. - y1 = (205 + 207)/412 = 412/412 = 1 - y2 = (205 − 207)/412 = −2/412 = −1/206 5) Поскольку y = x^2 ≥ 0, второй корень y2 не годится для действительных x. Значит y = 1. 6) Из y = x^2 следует x^2 = 1 ⇒ x = ±1. 7) Реальные корни: x = −1 и x = 1. (Если учитывать комплексные корни, из y2 получаются x^2 = −1/206, то x = ± i/√206.) Подход 2. Факторизация 1) Поскольку произведение двух квадратных множителей даёт коэффициенты 206 и −1 для BD, можно попробовать (206x^2 + B)(x^2 + D) с BD = −1. 2) Попробуем B = 1, D = −1. Тогда произведение даёт коэффициент при x^2: −206 + 1 = −205, что совпадает. Также AC = 206 и BD = −1 удовлетворяют. 3) В итоге имеем факторизацию: (206x^2 + 1)(x^2 − 1) = 0. 4) Решаем: либо x^2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1, либо 206x^2 + 1 = 0 ⇒ x^2 = −1/206 ⇒ x = ± i/√206. 5) Реальные корни те же: x = −1, x = 1. Дополнительные комплексные корни: x = ± i/√206. Итог - Реальные корни: x = −1 и x = 1. - Все корни (если допускаем комплексные): x = −1, x = 1, x = i/√206, x = −i/√206. Проверка (для любых корней): подстановкой x = ±1 в 206x^4 − 205x^2 − 1 даёт 206·1 − 205·1 − 1 = 0. Это подтверждает правильность решений.