Треугольники amk и a1m1k1 - равнобедренные с основаниями am и a1m1. Известно, что am=a1m1, mk=m1k1. Докажите, что биссектрисы АД и А1Д1 равны
Решение
Обозначим дано так:
- треугольники AMK и A1M1K1 равнобедренные с основаниями AM и A1M1;
- AM = A1M1 и MK = M1K1;
- D лежит на MK как точка пересечения бисектрисы угла ∠MAK с противоположной стороной MK;
- D1 лежит на M1K1 как точка пересечения бисектрисы угла ∠M1A1K1 с противоположной стороной M1K1.
Из условия равнобедренности по основанию AM треугольника AMK следует AK = KM. По основанию A1M1 треугольника A1M1K1 следует A1K1 = M1K1.
Из данных MK = M1K1 и AK = KM получаем: AK = KM = M1K1. А так как A1K1 = M1K1, то AK = A1K1 = MK = M1K1. Обозначим общую длину равных боковых сторон как t, а длину оснований AM = A1M1 как s. Тогда треугольники AMK и A1M1K1 имеют стороны (s, t, t) и (s, t, t) соответственно.
Следовательно, треугольники AMK и A1M1K1 равны по трем сторонам (SSS). Это значит, существует жесткое движение, переводя один треугольник в другой так, чтобы A ↔ A1, M ↔ M1, K ↔ K1.
При таком соответствии углы: ∠MAK в первом треугольнике соответствует ∠M1A1K1 во втором. Биссекции углов AD и A1D1 являются соответствующими линиями. Следовательно их длины равны: AD = A1D1.
Альтернативно можно вычислить длину биссектрисы по формуле длины биссектрисы l_a в треугольнике с сторонами вокруг угла a равными b и c, и противоположной стороной a: l_a = sqrt(bc[(b+c)² − a²]) / (b+c). В треугольнике AMK возьмем b = AM = s, c = AK = t, a = MK = t: AD = sqrt(st[(s+t)² − t²]) / (s+t) = sqrt(st(s² + 2st)) / (s+t) = s sqrt(t(s+2t)) / (s+t). Аналогично для треугольника A1M1K1 получаем: A1D1 = s sqrt(t(s+2t)) / (s+t). Значит AD = A1D1.
Итак, при данных условиях биссектрисы AD и A1D1 равны.
