На стене висят двое часов, у обоих и минутная, и часовая стрелки смотрят строго вверх. Одни часы исправны, а другие испорчены: они идут в обратную сторону, причем в 3 раза быстрее…

Решение задачи (пояснение шаг за шагом)

Задача: есть два часовых механизма. Оба часавеча (часовая и минутная стрелки) изначально смотрят вверх. Один часы работают нормально, другой — идут назад и в 3 раза быстрее нормальных. Сколько раз за следующие 23 часа 59 минут они будут показывать одинаковое время (не считая начального положения)?

1. Обозначения

• Пусть t — прошедшее время в часы от начала (t > 0).
• Нормальные часы показывают время t (в часах) по модулю 12.
• Испорченные часы показывают время −3t (по модулю 12), потому что они идут назад и в 3 раза быстрее.

2. Условие равенства показаний Чтобы часы показывали одно и то же время, нужно, t ≡ −3t (mod 12).

3. Решение congruence t ≡ −3t (mod 12) => 4t ≡ 0 (mod 12).

Это значит, что 4t должна быть кратна 12, то есть t должна быть кратна 3: t = 3k, где k — целое число.

4. Пробежимся по допустимому диапазону Нужно 0 < t < 23 часы 59 минут ≈ 23.9833 часа. t = 3k должны попадать в этот диапазон.

k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 дают t = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 часов. k = 8 даёт t = 24 часов, что выходит за пределы (23:59).

Итого получается 7 моментов: в 3:00, 6:00, 9:00, 12:00, 15:00, 18:00 и 21:00.

5. Проверка Например, в t = 3 часа:

• нормальные часы показывают 3:00.
• испорченные показывают −3·3 = −9 часов ≡ 3 часов по модулю 12, то есть 3:00. Так что показатели совпадают. Аналогично для остальных моментов.

Ответ: 7 раз.