F(x) =-2x2+x+3

Задача: разобрать и понять функцию f(x) = -2x^2 + x + 3. Пошаговое решение и пояснения 1) Обозначения и общая характеристика - Это квадратичная функция (парабола). Коэффициент a при x^2 равен -2, значит парабола направлена вниз. - Данные: a = -2, b = 1, c = 3. 2) Точка вершины и ось симметрии - Х-координата вершины: x_v = -b/(2a) = -1/(2·(-2)) = 1/4. - Значение в вершине: y_v = f(1/4) = -2(1/4)^2 + (1/4) + 3 = -2·(1/16) + 1/4 + 3 = -1/8 + 1/4 + 3 = 1/8 + 3 = 25/8 = 3.125. - Следовательно, вершина параболы: (1/4, 25/8). Ось симметрии: x = 1/4. - Производная для контроля монотонности: f'(x) = -4x + 1. Её ноль даёт ту же точку вершины. 3) Корни и разложение на множители - Равенство нулю: -2x^2 + x + 3 = 0. Умножим обе стороны на -1: 2x^2 - x - 3 = 0. - Дискриминант: D = (-1)^2 - 4·2·(-3) = 1 + 24 = 25. - Корни: x = [1 ± sqrt(25)]/(2·2) = (1 ± 5)/4. - x1 = (1 - 5)/4 = -4/4 = -1. - x2 = (1 + 5)/4 = 6/4 = 3/2. - Разложение на множители: f(x) = -2(x + 1)(x - 3/2). 4) В квадратном виде (форма вершины) - Приведем к форме вершины через completing the square: f(x) = -2x^2 + x + 3 = -2[x^2 - (1/2)x] + 3 внутри квадрат: x^2 - (1/2)x = (x - 1/4)^2 - 1/16. Значит: f(x) = -2[(x - 1/4)^2 - 1/16] + 3 = -2(x - 1/4)^2 + 2/16 + 3 = -2(x - 1/4)^2 + 25/8. - Вершина в форме вершины: f(x) = -2(x - 1/4)^2 + 25/8. Это наглядная запись максимального значения и параболы вниз. 5) Пересечения с осями - Ось y: при x = 0, f(0) = 3. Точка пересечения с осью y: (0, 3). - Основание параболы пересекает ось x в корнях: x = -1 и x = 3/2. Точки пересечения с осью x: (-1, 0) и (3/2, 0). 6) Значение и поведение графика - График — нисходящая после вершины:Increasing на (-∞, 1/4], уменьшение на [1/4, ∞). - Область определения: D = R (все вещественные числа). - Область значений (range): сверху ограничена вершиной y_max = 25/8, поэтому Range: (-∞, 25/8]. 7) Пример дополнительных вычислений - Значение функции в произвольной точке, например x = 1: f(1) = -2(1)^2 + 1 + 3 = -2 + 1 + 3 = 2. - Производная как дополнительная проверка: f'(x) = -4x + 1. Нули производной соответствуют вершине. Кратко подытожим важные результаты - Функция: f(x) = -2x^2 + x + 3. - Вершина: (1/4, 25/8); ось симметрии: x = 1/4. - Корни: x = -1 и x = 3/2. - Форма вершины: f(x) = -2(x - 1/4)^2 + 25/8. - Факторизация: f(x) = -2(x + 1)(x - 3/2). - Пересечения: ось y (0, 3); ось x (-1, 0) и (3/2, 0). - Доступная область значений: (-∞, 25/8]. Если нужно, могу привести график или построить таблицу значений для наброска чертежа.