4x²-12x+9>0

Задача: решить неравенство 4x^2 - 12x + 9 > 0.

Пошаговое решение:

1. Приведение в квадрат

• Заметим, что 4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2. Это достигается раскладкой квадратного трёхчлена: (2x)^2 - 2·2x·3 + 3^2.

2. Свойство квадратов

• Для любого реального x квадрат любого числа неотрицателен: (2x - 3)^2 >= 0.
• Равенство нулю выполняется тогда, когда 2x - 3 = 0, то есть x = 3/2.

3. Условие строгого неравенства

• Чтобы (2x - 3)^2 > 0, нужно, чтобы 2x - 3 ≠ 0.
• Следовательно, все реальные x, кроме x = 3/2.

4. Ответ

• Область значений: x ∈ (-∞, 3/2) ∪ (3/2, ∞).

Дополнительная отметка (для понимания через дискриминант):

• Раскрывая как квадрат, мы нашли, что уравнение 4x^2 - 12x + 9 = 0 имеет дискриминант Δ = (-12)^2 - 4·4·9 = 144 - 144 = 0, т.е. двойной корень x = 3/2. Поскольку коэффициент перед x^2 положительный (4), парабола открывается вверх, и выражение больше нуля во всех остальных точках, кроме корня.