Отрезки AB и CD- диаметры окружности. Докажите свойства хорд: a) хорды BD и AC равны; б) хорды AD и BC равны; в) угол BAD = углу BCD.

Пусть O — центр окружности. Пусть AB и CD — диаметры окружности, значит OA = OB = OC = OD = R и A противоположен B, а C противоположен D. а) Доказать, что хорды BD и AC равны. - Длина хорды XY равна 2R sin∠XOY/2, где ∠XOY — центральный угол, соответствующий хорде XY. - BD = 2R sin(∠BOD/2). - AC = 2R sin(∠AOC/2). - Так как AB и CD — диаметры, вращение на 180° вокруг O отправляет A в B и C в D; следовательно угол между OA и OC равен углу между OB и OD, то есть ∠AOC = ∠BOD. - Из этого следует BD = AC. б) Доказать, что хорды AD и BC равны. - Аналогично: AD = 2R sin(∠AOD/2), BC = 2R sin(∠BOC/2). - Вращение на 180° вокруг O переводит A в B и D в C, значит ∠AOD = ∠BOC. - Следовательно AD = BC. в) Доказать, что угол BAD равен углу BCD. - Угол BAD — это дуговой (инсценированный) угол, который опирается на хорду BD; он равно половине центрального угла ∠BOD, который видит дугу BD. - Угол BCD тоже опирается на ту же дугу BD и равен половине центрального угла ∠BOD. - Поэтому ∠BAD = ∠BCD. Итог: - BD = AC. - AD = BC. - ∠BAD = ∠BCD.