отрезки AB и CD- диаметры окружности. Докажите свойства хорд: a) хорды BD и AC равны; б) хорды AD и BC равны; в) угол BAD = углу BCD.

Пусть O — центр окружности. Пусть AB и CD — диаметры окружности, значит OA = OB = OC = OD = R и A противоположен B, а C противоположен D.

а) Доказать, что хорды BD и AC равны.

• Длина хорды XY равна 2R sin∠XOY/2, где ∠XOY — центральный угол, соответствующий хорде XY.
• BD = 2R sin(∠BOD/2).
• AC = 2R sin(∠AOC/2).
• Так как AB и CD — диаметры, вращение на 180° вокруг O отправляет A в B и C в D; следовательно угол между OA и OC равен углу между OB и OD, то есть ∠AOC = ∠BOD.
• Из этого следует BD = AC.

б) Доказать, что хорды AD и BC равны.

• Аналогично: AD = 2R sin(∠AOD/2), BC = 2R sin(∠BOC/2).
• Вращение на 180° вокруг O переводит A в B и D в C, значит ∠AOD = ∠BOC.
• Следовательно AD = BC.

в) Доказать, что угол BAD равен углу BCD.

• Угол BAD — это дуговой (инсценированный) угол, который опирается на хорду BD; он равно половине центрального угла ∠BOD, который видит дугу BD.
• Угол BCD тоже опирается на ту же дугу BD и равен половине центрального угла ∠BOD.
• Поэтому ∠BAD = ∠BCD.

Итог:

• BD = AC.
• AD = BC.
• ∠BAD = ∠BCD.