Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 32, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Решение. Пусть трапеция ABCD имеет основания BC и AD, причём BC ∥ AD, BC = 8, AD = 32, BD = 16. 1) Так как BC ∥ AD, угол между BD и BC равен углу между BD и AD. Следовательно, ∠CBD = ∠BDA. 2) Рассмотрим пару треугольников: CBD и BDA. - В_CFSSCBD стороны, образующие угол ∠CBD, это BC и BD. - В треугольнике BDA стороны, образующие угол ∠BDA, это BD и DA. Таким образом, две стороны в одном треугольнике пропорциональны двум сторонам в другом треугольнике: BC/BD = 8/16 = 1/2 и BD/DA = 16/32 = 1/2. И совпадает угол между ними: ∠CBD = ∠BDA. 3) По признаку SAS (две стороны пропорциональны и включённый между ними угол равен) треугольники CBD и BDA подобны. 4) Соответствия сторон при данной симметрии таковы: CB ↔ BD, BD ↔ DA, CD ↔ AB. Коэффициент подобия k равен BD/CB = 16/8 = 2, то есть треугольник BDA большинства в 2 раза крупнее треугольника CBD. Вывод: треугольники CBD и BDA подобны. Дополнительно можно записать отношение их соответствующих сторон: CB:BD:CD = 1:2:(CD/2), BD:DA:AB = 2:4:(AB/2), и AB = 2·CD.