|x(x-3)| ≥ 2 – это немного сложнее, но давай разберем по шагам. Во-первых, мы знаем, что модуль числа – это его расстояние от нуля на числовой прямой, и этот модуль будет больше…
|x(x-3)| ≥ 2 – это немного сложнее, но давай разберем по шагам. Во-первых, мы знаем, что модуль числа – это его расстояние от нуля на числовой прямой, и этот модуль будет больше или равен двум в том случае, когда само число будет меньше или равно -2 либо больше или равно 2. Теперь, чтобы найти все решения для x, нам надо рассмотреть два случая: когда x(x-3) неотрицательно, то есть x≥0 или x≤3, и когда x(x-3) отрицательно, то есть когда 0>x>3. В каждом случае нам нужно решить неравенство, представляя модуль как положительный (для первого случая) и как отрицательный (для второго случая). То есть решить неравенства x(x-3)≥2 и -(x(x-3))≥2. Затем мы найдем пересечение решений этого неравенства с условиями для неотрицательного и отрицательного случаев и изобразим их на числовой прямой. Если нужно подробнее разобрать какой-то из пунктов или же визуализировать их на чертеже, дай знать – сделаем это вместе!
Отлично, разберем задачу пошагово и подробно. Исправлю небольшой неточность в твоем плане и дам полный ход решения.
Суть неравенства |x(x-3)| ≥ 2 означает, что значение выражения f(x) = x(x-3) по модулю не меньше 2. Это эквивалентно двух случаям:
- f(x) ≥ 2, или
- f(x) ≤ -2.
Заметим also: само произведение x(x-3) неотрицательно на промежутках (-∞, 0] и [3, ∞), а отрицательно на (0, 3). Это полезно для визуализации, но здесь мы решаем через две независимые неравности.
Шаг 1. Решаем неравенство f(x) ≥ 2 x(x-3) ≥ 2 x^2 - 3x ≥ 2 x^2 - 3x - 2 ≥ 0
Корни квадратичного многочлена: Δ = (-3)^2 - 4·1·(-2) = 9 + 8 = 17 x = [3 ± sqrt(17)]/2
Обозначим: a = (3 - sqrt(17))/2 ≈ -0.5616 b = (3 + sqrt(17))/2 ≈ 3.5616
Поскольку коэффициент при x^2 положительный, парабола открыта вверх, и неравенство ≥ 0 выполняется вне корней: Решение: x ≤ a или x ≥ b то есть (-∞, a] ∪ [b, ∞).
Шаг 2. Решаем неравенство f(x) ≤ -2 x(x-3) ≤ -2 x^2 - 3x ≤ -2 x^2 - 3x + 2 ≤ 0 (x-1)(x-2) ≤ 0
Корни: 1 и 2. Поскольку парабола вверх, выражение ≤ 0 между корнями: Решение: x ∈ [1, 2].
Шаг 3. Объединяем решения S = (-∞, a] ∪ [b, ∞) ∪ [1, 2], где a = (3 - sqrt(17))/2, b = (3 + sqrt(17))/2.
То есть в точном виде: S = (-∞, (3 - sqrt(17))/2] ∪ [1, 2] ∪ [(3 + sqrt(17))/2, ∞).
Численно это примерно: S ≈ (-∞, -0.5616] ∪ [1, 2] ∪ [3.5616, ∞).
Проверка примерами
- x = -2: f(-2) = (-2)(-5) = 10, |f| = 10 ≥ 2 → в решении (пп. (-∞, a]).
- x = 0.5: f(0.5) = 0.5×(-2.5) = -1.25, |f| = 1.25 < 2 → не в решении.
- x = 1.5: f(1.5) = 1.5×(-1.5) = -2.25, |f| = 2.25 ≥ 2 → в решении (пп. [1, 2]).
- x = 4: f(4) = 4×1 = 4, |f| = 4 ≥ 2 → в решении (пп. [b, ∞)).
Итого Решение: x ∈ (-∞, (3 - sqrt(17))/2] ∪ [1, 2] ∪ [(3 + sqrt(17))/2, ∞).
Если хочешь, могу:
- показать график функции f(x) и выделить области решения на нумерной оси;
- сделать более детальный разбор по каждому из трёх интервалов на примерах;
- привести эквивалентное решение через знаковую диаграмму.
