в параллелограмме KLMN угол K=45 градусов, диагональ LN перпендикулярна стороне MN и равна 5 см. Найдите площадь параллелограмма

Решение даём пошагово и понятно.

Дано параллелограмм KLMN, угол K = 45°, диагональ LN перпендикулярна стороне MN и LN = 5 см. Найдём площадь.

1. Обозначения и геометрия

• Пусть KL = MN = a (противоположные стороны равны и параллельны).
• KN = LM = b.
• Угол между KL и KN равен 45° (это угол K).

Площадь параллелограмма можно выразить через сторону и синус угла между соседними сторонами: A = KL · KN · sin(∠K) = a · b · sin(45°) = a b (√2/2).

2. Ввод координат и условия перпендикулярности LN ⟂ MN Разместим K в начале координат, KL по оси x длинны a, KN под углом 45° к KL:

• K = (0, 0)
• L = (a, 0)
• N = (b cos45°, b sin45°) = (b√2/2, b√2/2)

Тогда M = L + KN = (a + b√2/2, b√2/2). Сторона MN идёт от M к N и имеет вид MN = N − M = (−a, 0) — то есть MN горизонтальна и длина MN равна a, что согласуется с противолежащими сторонами.

Условие LN ⟂ MN: MN горизонтальна, значит LN должна быть вертикальна. Поэтому x-координаты L и N должны совпадать: a = b√2/2. (1)

3. Используем длину LN LN = 5. Вектор LN = N − L = (b√2/2 − a, b√2/2). По (1) первый компонент LN равен нулю, следовательно LN = |вектор LN| = |b√2/2|. Тогда b√2/2 = 5 → b = 5 · 2 / √2 = 5√2. Подстановка в (1) даёт a = b√2/2 = (5√2)·√2/2 = 5.

Итак, найдено:

• a = KL = MN = 5 см
• b = KN = LM = 5√2 см

4. Площадь A = a b sin(45°) = 5 · (5√2) · (√2/2) = 5 · 5 · (2/2) = 25 см².

Ответ: площадь параллелограмма равна 25 см².