2cos²3x - 17cos3x +8≤0 Найди минимальное значение х из промежутка 4π/9; 7π/9, удовлетворяющее данному неравенству. Запиши в поле ответа значение х, умноженное на - 9/π

Решение:

1. Пусть t = cos(3x). Неравенство becomes 2t^2 − 17t + 8 ≤ 0. Факторизация: 2t^2 − 17t + 8 = (2t − 1)(t − 8). Тогда неравенство выполняется для t ∈ [1/2, 8]. Так как t ∈ [-1, 1], получаем t ∈ [1/2, 1]. Значит cos(3x) ∈ [1/2, 1].

2. Решение cos(3x) ∈ [1/2, 1]. Косинус в промежутке [−π/3 + 2kπ, π/3 + 2kπ], k ∈ Z. В заданном диапазоне x ∈ [4π/9, 7π/9] получаем 3x ∈ [4π/3, 7π/3].

3. Найдем пересечение: Для k = 1 имеем интервал [5π/3, 7π/3], который лежит внутри [4π/3, 7π/3]. Следовательно 3x ∈ [5π/3, 7π/3], то x ∈ [5π/9, 7π/9].

4. Минимальное значение x в заданном промежутке — x = 5π/9. Проверка: cos(3x) при x = 5π/9 равен cos(5π/3) = 1/2, подстановка даёт равенство неравенства.

5. Нужно записать значение x, умноженное на −9/π: x * (−9/π) = (5π/9) * (−9/π) = −5.

Ответ: −5.