Что такое многочлен?

Коротко и понятно: что такое многочлен? - Определение: многочлен в одной переменной x — это алгебраическое выражение вида a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, где степени x целые неотрицательные, а коэффициенты a_i — числа (обычно вещественные или комплексные). n — наибольшая степень с ненулевым коэффициентом. - Термины: - Моном: одно termное выражение вида a x^k, где k — неотрицательное целое. - Константа: моном с степенью k = 0, то есть просто число a. - Многочлен в одной переменной: вид выше. - Многочлен в нескольких переменных: сумма мономов вида a x^i y^j z^k и т.д. с неотрицательными целыми степенями. - Степень многочлена: наибольшая степень переменной x у ненулевого коэффициента. Например, у 4x^3 - 2x^2 + 7 степень равна 3. - Нулевой многочлен: все коэффициенты равны нулю. Обычно степень не определяется (иногда говорят - бесконечность). - Что можно считать множителями и формой: - Многочлен может располагаться как сумма нескольких мономов: 3x^4 - 2x^2 + 5. - Многочлены могут быть константными (пример: 7) или дробь по переменной не является многочленом (например, 1/x или sqrt(x) не полином). - Примеры: - 4x^3 - x^2 + 7x - 5 — многочлен в одной переменной x, степень 3. - 2xy^2 + 3x^2y - y + 1 — многочлен в двух переменных x и y. - 5 — константный многочлен (степень 0). - 0 — нулевой многочлен. - x^2 + 3/x — не многочлен (есть обращение к x в знаменателе, дробь). - Что не является многочленом: - выражения с отрицательными степенями или дробными степенями x (например, x^(-1), sqrt(x) или x^(1/2)); - выражения с переменной в знаменателе (1/x); - экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические функции вида e^x, ln x, sin x и т. п. - Где это полезно: - Многочлены приятно устроены для вычислений: их можно складывать, умножать, упрощать, факторизовать и подставлять значения переменных. - По степеням можно быстро определить, как быстро у экспрессии растет значение при увеличении переменной. - Несколько кратких примеров для закрепления: - Плохо быть полиномом: f(x) = x^(3/2) + 2x — не полином, потому что степени не целые. - Хорошо быть полиномом: g(t) = -5t^5 + 2t^3 - t + 9 — полином в переменной t, степень 5. - Многочлен из нескольких переменных: h(x, y) = 4x^2y - y^3 + 7 — в двух переменных, содержит мономы с неотрицательными целочисленными степенями. Как проверить, является ли выражение многочленом (пошагово)? 1) Посмотреть на степени переменной(ых): все степени должны быть неотрицательными целыми числом и не должны быть дробными или отрицательными. 2) Проверить наличие переменной в знаменателе или корня: если есть 1/x или sqrt(x) и т. п., это не полином. 3) Убедиться, что выражение состоит из сумм, разностей и умножений мономов вида a x^k (или множеств мономов в нескольких переменных). 4) Если все условия выполнены, это многочлен; иначе — не многочлен. Если хочешь, могу привести больше примеров или дать небольшие задачи на определение степени, разложение на части или разбор конкретного выражения на полином/неполином.