Теорема фалеса

Кратко: Теорема Фалеса говорит, что если A и B — концы диаметра окружности, а C — любая точка на окружности, то угол ACB равен 90°. Эквивалентно: если треугольник прямой на C, то его гипотенуза AB является диаметром описанной окружности. Формулировки - Вписанная формулировка: если AB — диаметр окружности, то ∠ACB = 90° для любой точки C на окружности. - Обратная формулировка: если треугольник ABC прямоугольный в точке C, то AB является диаметром описанной окружности вокруг треугольника. Доказательства (кратко) - Геометрическое доказательство (через вписанный угол): центральный угол AOB, опирающийся на дугу AB, равен 180° (потому что AB — диаметр). Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB, следовательно ∠ACB = 1/2 ∙ ∠AOB = 90°. - Координатное доказательство: возьмём окружность радиуса R с центром в начале координат и диаметром AB по оси x, например A(−R, 0), B(R, 0). Любая точка C(x, y) на окружности удовлетворяет x^2 + y^2 = R^2. Векторы CA = (−R−x, −y) и CB = (R−x, −y) имеют скалярное произведение (−R−x)(R−x) + (−y)(−y) = −(R^2 − x^2) + y^2 = −R^2 + x^2 + y^2 = 0, поскольку x^2 + y^2 = R^2. Значит угол ACB прямой. Примеры и применения - Пример: окружность x^2 + y^2 = 25, A(−5, 0), B(5, 0). Любая точка C на окружности (например, C(3, 4)) образует с AB прямой угол: ∠ACB = 90°. - Следствие: любой прямоугольный треугольник имеет гипотенузу как диаметр своей описанной окружности; наоборот, диаметр описанной окружности треугольника равен гипотенузе. Полезные примечания - Теорема Фалеса часто используется для проверки прямого угла по расположению точек на окружности или для построения прямого угла с заданным диаметром. - Она лежит в основе понимания связи между прямыми углами и окружностями (и является частным случаем теоремы обInscribed angle). Хотите, могу привести более подробное решение какой-нибудь задачи наThales или привести ещё несколько вариантов доказательства.