Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат 0,1 фотон на импульс; потери в канале 0,3 дБ/км; эффективность детекторов – 10%. Найдите максимальное расстояние (в км) квантового распределения ключа по протоколу B84 для шифрования голоса. Пренебрегите темновым счетом детекторов и возможными атаками Евы с разделением числа фотонов.

Кратко: при данных условиях требуемый темпKey (5 кбит/с) недостижим с частотой импульсов 1 Гц, даже если расстояние равно нулю. Ниже подробное решение. Исходные данные и допущения - Частота лазерных импульсов f = 1 Гц (один импульс в секунду). - Среднее число фотонов на импульс mu = 0,1. - Потери канала: 0,3 дБ/км. Преобразуем в коэффициент передачи T(L) = 10^{-0,3 L / 10} = 10^{-0,03 L}. - Эффективность детекторов η_det = 0,10. - Пренебрегаем темновыми счётами и атаками Евы без разделения фотонов. - Протокол: BB84/BB84-подобный (B84). Только приблизительно учитываем сингл-то-по-тривиальному для слабых импульсов: chỉ небольшие mu; после разложения получаем примерно P_det ≈ mu · T(L) · η_det. Затем пересеянный ключ после сверки баз (sifting) даёт примерно половину детектируемых импульсов: R_key ≈ f · (1/2) · P_det. 1) Выражение для скорости на генерацию ключа - Вероятность обнаружения одного импульса: P_det ≈ mu · T(L) · η_det. - Скорость ключа после сверки баз: R_key(L) ≈ f · (1/2) · P_det = f · (1/2) · mu · T(L) · η_det. Подставим данные: - mu = 0,1; η_det = 0,10; f = 1 Hz. - R_key(L) ≈ 1 · (1/2) · 0,1 · 10^{-0,03 L} · 0,10 - R_key(L) ≈ 0,5 · 0,1 · 0,1 · 10^{-0,03 L} = 0,005 · 10^{-0,03 L} бит/с. 2) Максимальная скорость при наименьших потерях (L = 0 км) - T(0) = 10^{-0,03·0} = 1. - R_key(0) ≈ 0,005 бит/с. 3) Сопоставление с требуемым ключевым потоком - Требуется 5 000 бит/с. - Максимальная возможная скорость при любых L не превышает R_key(0) = 0,005 бит/с, и с увеличением L она только уменьшается (10^{-0,03 L} ≤ 1). - Разница между требуемым и возможным: 5000 ÷ 0,005 = 1 000 000. То есть требуется примерно миллион раз больший поток ключа, чем максимальный, который обеспечивают данные параметры. 4) Вывод по расстоянию - Нет такого расстояния, которое позволяло бы достичь 5 кбит/с при заданных параметрах. - Даже при L = 0 км максимум QKD-ключа равен 0,005 бит/с, что в миллион раз меньше требуемого. - Следовательно, с параметрами: - частота импульсов 1 Гц, - mu = 0,1, - ηDet = 0,10, - потери канала 0,3 дБ/км, - без учёта темновых счётчиков и атак Евы, не существует конечного расстояния, которое позволило бы получить 5 кбит/с квантового распределения ключа по протоколу B84. Что можно изменить, чтобы достичь 5 кбит/с (варианты, если задача позволяет варьировать параметры) - Увеличить частоту импульсов до порядка 1 МГц (или выше). Тогда при прочих равных R_key ≈ f · 0,005, и f ≈ 1 000 000 Hz даст около 5 000 бит/с при L близком к нулю. - Увеличить mu (но это усложняет безопасность и может потребовать использования декой-стейт декoy-защиты). - Улучшить детекторную эффективность η_det. - Снизить потери канала (меньше расстояния или более эффективная оптика/канал). - Использовать более продвинутые схемы (например, декой-стейт протоколы) — они могут увеличить допустимый ключевой вывод при том же mu и потере. Итого - Максимальная возможная скорость распределения ключа при данных параметрах и 1 Гц импульсах: примерно 0,005 бит/с (при L = 0). - Требование 5 000 бит/с не достижимо для любого расстояния в рамках заданных условий. - Чтобы достичь 5 кбит/с, нужно существенно увеличить частоту импульсов (примерно до 1 МГц при тех же mu и η_det) или изменить другие параметры системы.