Двое играют в следующую игру. Изначально написано число . За один ход разрешается добавлять к нему 1,2,3,4 или 5. Выигрывает тот, кто получит число 2022. Как должен сходить первый…

Условимся, что начальное число равно 0. Цель — получить 2022, за ход можно прибавлять 1–5. 2022 делится на 6 (2022 = 6 × 337).

Пояснение по стратегии:

• После каждого хода, если число кратно 6, следующий ход соперника сможет сделать так, чтобы число снова стало кратным 6: он добавляет столько, чтобы суммарно до следующей кратной 6 добавилось 6 (то есть 6 − r, если текущий остаток r по модулю 6, где r ∈ {1,2,3,4,5}).
• Таким образом, если после чьего-то хода число кратно 6, этот игрок в позиции проигрыша: соперник может всегда довести число до следующей кратной 6.

Начальное положение: 0 — кратно 6. Значит первый игрок начинает в проигрышной позиции. Любой его первый ход (1, 2, 3, 4 или 5) даст второму возможность добить до следующей кратной 6 (6), затем до 12, 18 и так далее, вплоть до 2022. Поэтому при оптимальной игре второй игрок выиграет.

Вывод:

• Нет выигрывающего первого хода у первого игрока (то есть такого первого хода, который гарантированно приведёт к победе).
• Если начальное число было другим, общий принцип таков: первый ход должен сделать число кратным 6, то есть прибавить 6 − (n mod 6). Но при начальном числе 0 такого хода не существует.

Ответ: такого первого хода не существует. Второй игрок выигрывает при оптимальной игре.