Задание 7. Код доступа к электронному дневнику состоит из трех позиций, где каждая позиция — это некоторая цифра из следующего набора: 1,2,3. Цифры в коде расположены в порядке не возрастания. Сколько всего возможных кодов доступа может быть в электронном дневнике?

Задача: код из трех цифр, каждая цифра ∈ {1,2,3}, цифры идут в порядке не возрастания (то есть a ≥ b ≥ c). Сколько таких кодов? Пошаговое решение: 1) Обозначим код как тройку (a, b, c) с a ≥ b ≥ c и a, b, c ∈ {1, 2, 3}. 2) Чтобы посчитать количество таких троек, удобнее рассмотреть количество каждой цифры в коде. Пусть: - n3 — сколько в коде цифр 3, - n2 — сколько цифр 2, - n1 — сколько цифр 1. Тогда n1 + n2 + n3 = 3, где ni ≥ 0 и целые. Каждый набор значений (n3, n2, n1) задаёт уникальный не возрастающий тройку: сначала 3 повторяются n3 раз, затем 2 повторяются n2 раз, затем 1 повторяются n1 раз. Поэтому задача сводится к количеству неотрицательных решений уравнения n1 + n2 + n3 = 3. 3) Количество решений уравнения n1 + n2 + n3 = 3 равно сочетанию с повторениями: C(3 + 3 − 1, 3) = C(5, 3) = 10. 4) Можно перечислить все варианты (для уверенности): - 3,3,3 - 3,3,2 - 3,3,1 - 3,2,2 - 3,2,1 - 3,1,1 - 2,2,2 - 2,2,1 - 2,1,1 - 1,1,1 Итого: 10 возможных кодов. Ответ: 10.