Задание 7. Код доступа к электронному дневнику состоит из трех позиций, где каждая позиция — это некоторая цифра из следующего набора: 1,2,3. Цифры в коде расположены в порядке не…

Задача: код из трех цифр, каждая цифра ∈ {1,2,3}, цифры идут в порядке не возрастания (то есть a ≥ b ≥ c). Сколько таких кодов?

Пошаговое решение:

1. Обозначим код как тройку (a, b, c) с a ≥ b ≥ c и a, b, c ∈ {1, 2, 3}.

2. Чтобы посчитать количество таких троек, удобнее рассмотреть количество каждой цифры в коде. Пусть:

• n3 — сколько в коде цифр 3,
• n2 — сколько цифр 2,
• n1 — сколько цифр 1.

Тогда n1 + n2 + n3 = 3, где ni ≥ 0 и целые.

Каждый набор значений (n3, n2, n1) задаёт уникальный не возрастающий тройку: сначала 3 повторяются n3 раз, затем 2 повторяются n2 раз, затем 1 повторяются n1 раз. Поэтому задача сводится к количеству неотрицательных решений уравнения n1 + n2 + n3 = 3.

3. Количество решений уравнения n1 + n2 + n3 = 3 равно сочетанию с повторениями: C(3 + 3 − 1, 3) = C(5, 3) = 10.

4. Можно перечислить все варианты (для уверенности):

• 3,3,3
• 3,3,2
• 3,3,1
• 3,2,2
• 3,2,1
• 3,1,1
• 2,2,2
• 2,2,1
• 2,1,1
• 1,1,1

Итого: 10 возможных кодов.

Ответ: 10.