В треугольнике АВС угол С равен 90°, стороны AC и BC равны. На стороне АВ отметили точку Р так, что угол АСР равен 18°. Найдите градусную меру угла АРС.

Задача решается по углам. Принято считать, что на стороне AB лежит точка R такая, что ∠ACR = 18°. Найдём ∠ARC.

Данные и промежуточные выводы:

• В треугольнике ABC угол C равен 90°, и AC = BC. Значит этот треугольник прямоугольный и равнобедренный, поэтому углы при A и B равны: ∠A = ∠B = 45°.
• Точка R лежит на AB, поэтому луч AR coincides с лучом AB (направление AR лежит по AB). Следовательно угол RAC равен углу CAB, то есть ∠RAC = ∠A = 45°.
• По условию ∠ACR = 18° — это угол при C в треугольнике ACR.

Теперь в треугольнике ACR сумма углов равна 180°: ∠ARC = 180° − ∠RAC − ∠ACR = 180° − 45° − 18° = 117°.

Ответ: 117°.