14) Тело толкнули вверх по наклонной плоскости с углом наклона 30°. Начальная скорость тела 10 м/с, коэффициент трения 0,1. Найти время подъёма тела до остановки и время спуска.
Заданная задача: тело движется вверх по наклонной плоскости уголом 30°, начальная скорость v0 = 10 м/с, коэффициент трения μ = 0,1. Найти время подъёма до остановки и время спуска обратно.
Условия и допущения
- Пусть ось вдоль наклона вверх положительна.
- При движении вверх сила трения направлена вниз плоскости; сила тяжести вдоль плоскости тоже направлена вниз.
- Коэффициент трения μ относится к кинетическому трению (μk). Массу m можно вынести, т. к она сокращается в формулах.
- Время подъёма до остановки
Съедущийся к ускорению при движении вверх: A_up = g (sin θ + μ cos θ). Здесь θ = 30°, sin θ = 0.5, cos θ ≈ 0.8660, g ≈ 9.81 м/с². A_up = 9.81 [0.5 + 0.1·0.8660] ≈ 9.81 · 0.58660 ≈ 5.75 м/с².
Время до остановки: t_up = v0 / A_up ≈ 10 / 5.75 ≈ 1.74 с.
Продольное пройденное расстояние за подъём (для наглядности): s_up = v0² / (2 A_up) ≈ 100 / (2·5.75) ≈ 8.7 м.
- Время спуска после достижения вершины
При движении вниз сила трения направлена вверх, поэтому ускорение вниз: A_down = g (sin θ − μ cos θ). A_down = 9.81 [0.5 − 0.1·0.8660] ≈ 9.81 · 0.41340 ≈ 4.06 м/с² (положительно вниз по плоскости).
Т.к. блок в вершине начинает двигаться вниз с нулевой начальной скоростью и через расстояние s_up, время спуска равно t_down, найденному из формулы s = (1/2) A_down t²: t_down = sqrt(2 s_up / A_down) ≈ sqrt(2·8.7 / 4.06) ≈ sqrt(4.29) ≈ 2.07 с.
Альтернативная компактная формула для t_down
- Можно записать t_down как t_down = v0 / sqrt(A_up · A_down).
- При числах это даёт также ≈ 2.07 с.
Ответы
- Время подъёма до остановки: примерно 1.74 с.
- Время спуска обратно до начальной позиции: примерно 2.07 с.
- Пройденное расстояние вверх до остановки: примерно 8.7 м.
Замечания
- Результаты не зависят от массы тела (масса cancels в формулах).
- Для данного μ и θ условие sin θ < μ cos θ нарушается static-частью при покое, но здесь рассматривается кинетическое трение и движение после толчка. Если использовать только статическое трение, ситуация с началом спуска могла бы отличаться.
