отрасли АВ и СD пересикаются в их общей середине. Докажите, что прямые AC и BD паралельны

Задача: отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине M. Доказать, что прямые AC и BD параллельны.

Решение 1 (через центральную симметрию)

• Пусть M — общая середина AB и CD. Тогда точка A и точка B симметричны относительно M (M — середина AB), как и точки C и D симметричны относительно M.
• Вот почему: при повороте на 180 градусов вокруг точки M A переходит в B, а C — в D.
• Такая полу-вращение (180°) отображает линию AC в линию BD. Поскольку симметрический образ линии не проходящей через центр вращения — это другая линия, параллельная исходной, получаем AC ∥ BD.
• Ответ: AC и BD параллельны.

Решение 2 (координатное)

• Пусть M — начало координат. Пусть A и B симметричны относительно M: A = -u, B = u для некоторого вектора u. Пусть C и D симметричны относительно M: C = -v, D = v для некоторого вектора v.
• Вектор AC равен C - A = (-v) - (-u) = u - v. Вектор BD равен D - B = v - u = -(u - v).
• Два направления AC и BD пропорциональны (один вектор равен минусу другого), значит AC ∥ BD.
• Ответ: AC параллельна BD.

Дополнительно (классическая синтетика)

• Рассмотрим чётко квадратик ACBD, у которого AB и CD являются его диагоналями. По условию диагонали AB и CD пересекаются в одной точке, являясь серединой каждой диагонали, то диагонали бисектируют друг друга. Значит ACBD — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, следовательно AC ∥ BD.

Итог: независимо от выбора метода, доказано, что прямые AC и BD параллельны.