A²-9x²+18|x|-9=0 реши параметр
Разберём задачу: A² - 9x² + 18|x| - 9 = 0, где A — параметр (реальное число). Найдём решения по x в зависимости от A.
Подстановка Пусть t = |x| ≥ 0. Тогда x² = t², и уравнение становится A² - 9t² + 18t - 9 = 0. Умножим на -1 и приведём к каноническому виду: 9t² - 18t - (A² - 9) = 0.
Решение по t Дискриминант: D_t = (-18)² - 4·9·(-(A² - 9)) = 324 + 36(A² - 9) = 36A². Корни: t = [18 ± sqrt(D_t)] / (2·9) = [18 ± 6|A|] / 18 = 1 ± |A|/3.
Итак, возможны два значения t:
- t1 = 1 + |A|/3 (всегда ≥ 1 > 0),
- t2 = 1 - |A|/3 (неотрицательно только если |A| ≤ 3).
- Возвращаемся к x Так как t = |x|, для каждого допустимого t получаем x = ±t. Учитываем ограничение t ≥ 0.
t1 всегда даёт два решения: x = ±(1 + |A|/3).
t2 допускается только если |A| ≤ 3.
- если 0 < |A| < 3: t2 > 0 и даёт ещё две решения: x = ±(1 - |A|/3). Итого 4 различных решения.
- если |A| = 3: t2 = 0, даёт x = 0 как дополнительное решение. Итого: x ∈ { -2, 0, 2 } (3 решения).
- если |A| = 0: t1 = t2 = 1. Тогда по сути имеем только два решения: x = ±1 (не образуется четверка из-за совпадения).
если |A| > 3: только t1 даёт решения, и получаем два решения x = ±(1 + |A|/3).
Итоговая картина:
- A = 0: x = ±1 (2 решения).
- 0 < |A| < 3: x = ±(1 + |A|/3) и x = ±(1 - |A|/3) (4 решения).
- |A| = 3: x ∈ { -2, 0, 2 } (3 решения).
- |A| > 3: x = ±(1 + |A|/3) (2 решения).
Примечание: решения зависят только от модуля A, т.е. от |A|. Если хотите, могу привести примеры под конкретные значения A.
