√x+2>√4-x

Задача: √x + 2 > √(4 − x)

1. Область определения

• Требуются x ≥ 0 и 4 − x ≥ 0 → x ≤ 4.
• Значит, x ∈ [0, 4].

2. Применимость возведения в квадрат

• Левые и правые стороны неотрицательные на всей области: √x ≥ 0, поэтому √x + 2 ≥ 2; √(4 − x) ≥ 0.
• Поэтому можно возвести обе стороны в квадрат без изменения знака неравенства.

3. Возведение в квадрат (√x + 2)² > (√(4 − x))² x + 4 + 4√x > 4 − x

4. Приведение к начальному виду x + 4 + 4√x > 4 − x 2x + 4√x > 0 x + 2√x > 0

5. Замена переменной Пусть t = √x ≥ 0. Тогда t² + 2t > 0 → t(t + 2) > 0. Так как t ≥ 0, произведение положимо только тогда, когда t > 0.

Значит, √x > 0 → x > 0.

6. Объединение с областью Из x ∈ [0, 4] получаем решение x ∈ (0, 4].

7. Проверка концов

• x = 0: √0 + 2 = 2, √(4 − 0) = 2 → нестрогое неравенство не выполняется.
• x = 4: √4 + 2 = 2 + 2 = 4, √(4 − 4) = 0 → 4 > 0 выполняется.

Ответ: x ∈ (0, 4].