Треугольник со сторонами 4 и12 и углом между ними 120 град вращается вокруг большей стороны.Найти об'ем тела вращения

Ответ: объём V = 48π (кубических единиц).

Пошаговое решение (мидл-уровень, без лишних формул, но с обоснованием):

1. Найдём высоту triangle C к основанию AB, если известно две стороны и угол между ними.

• Пусть стороны вокруг угла 120° равны a = 4 и b = 12.
• Площадь треугольника: A = (1/2)ab sin(120°) = (1/2)·4·12·(√3/2) = 12√3.

2. Свяжем площадь, основание и высоту.

• Основание AB равно 12.
• Площадь тоже равна A = (1/2)·AB·h, где h — высота к основанию AB.
• Отсюда h = 2A / AB = 2·12√3 / 12 = 2√3.

3. Объём тела при вращении треугольника вокруг стороны AB.

• Вокруг стороны AB треугольник вращается в такой форме: получаются два конуса с общим основанием радиуса r = h и высотами h1 и h2, где h1 + h2 = AB = 12.
• Их суммарный объём будет V = (1/3)πr^2h1 + (1/3)πr^2h2 = (1/3)πr^2(h1 + h2) = (1/3)πh^2·AB.

4. Подставим найденные значения.

• h^2 = (2√3)^2 = 12, AB = 12.
• V = (1/3)π·12·12 = 144π/3 = 48π.

Дополнительно можно заметить через теорему Паппа: V = A · (Circumference of centroid path) = (12√3) · 2π·(h/3) = (12√3) · 2π·(2√3/3) = 48π, что совпадает.

Итого: объём тела вращения равен 48π кубических единиц.