Напиши все свойства геометрических фигур за 7-8 классы

Ниже собраны основные свойства геометрических фигур и школьных понятий, которые обычно изучают в 7–8 классах. Это полный обзор без решения конкретных задач, но с краткими объяснениями и формулами, чтобы было понятно, какие свойства запоминают на этом этапе. 1) Общие понятия и принципы - Точка, прямая, плоскость, отрезок, луч: базовые элементы геометрии. - Параллельность и перпендикулярность: две прямые могут быть параллельны, могут пересекаться, фигуры строятся с учетом параллельных сторон. - Углы: меру угла задают в градусах; сумма степеней образующих угол для примыкающих углов определяется типом фигуры. - Сумма углов многоугольника: для любого треугольника сумма внутренних углов равна 180°, для многоугольника с n сторонами сумма внутренних углов равна (n − 2) · 180°. - Внешний угол: сумма степеней внешних углов вокруг вершины равна 360°. - Периметр и площадь: базовые величины площади и длины контура. - Признаки равенства и подобия: равные фигуры имеют совпадающие размеры и формы; подобные фигуры имеют одинаковые углы и пропорциональные стороны. 2) Треугольники - Виды по сторонам: равносторонний (все стороны равны), равнобедренный (две стороны равны), разносторонний (все стороны разные). - Виды по углам: остроугольный, тупоугольный, прямоугольный. - Сумма углов треугольника: 180°. - Отношение сторон и углов: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. - Высота, медиана, биссектриса: - Высота: перпендикулярна к противоположной стороне. - Медиана: соединяет вершину с серединой противоположной стороны. - Биссектриса: делит угол пополам. - Центроид: точка пересечения медиан, делит каждую медиану в отношение 2:1 (большее от вершины). - Ортцентр: точка пересечения высот. - Инцентр: точка пересечения биссектрис, центр вписанной окружности. - Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике a^2 + b^2 = c^2 (где c — гипотенуза). - Площади и периметры: - Площадь треугольника: S = (1/2) · base · height. - Периметр: P = a + b + c. - Площадь равностороннего треугольника: S = (√3 / 4) · a^2. - Формула Герона: S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), где s = (a + b + c)/2. - Признаки треугольников на равенство: - SSS, SAS, ASA, AAS, RHS (для прямоугольных треугольников). - Специальные треугольники: - 30–60–90: стороны в отношении 1 : √3 : 2. - 45–45–90: стороны в отношении 1 : 1 : √2. 3) Четырехугольники - Параллелограмм: противоположные стороны параллельны и равны, диагонали бeсятся пополам; суммарная площадь S = база · высота. - Прямоугольник: параллелограмм с прямыми углами; диагонали равны. - Ромб: параллелограмм с равными сторонами; диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам. - Квадрат: и параллелограмм, и ромб; прямые углы и равные диагонали; диагонали равны и перпендикулярны. - Трапеция: одна пара противоположных сторон параллельна; основания б = одна параллельная пара, высота h — расстояние между основаниями; площадь S = (b1 + b2) · h / 2. - Равнобедренная трапеция: неравные боковые стороны, но базовые углы равны; диагонали равны. - Клиновидник (кинет): две пары соседних равных сторон; диагонали часто перпендикулярны; одна диагональ может делить другую пополам и бисектрисы углов между равными сторонами. - Свойство диагоналей: в произвольном параллелограмме диагонали пересекаются и делят друг друга пополам; в квадрате/прямоугольнике/ромбе эти свойства дополняются дополнительными фактами (см. выше). - Вписанные и описанные окружности и циркульные свойства в четырехугольниках встречаются в задачах на круги; общая формула для площади — базовая: S = основание · высота. 4) Окружности и дуги - Радиус (r) — расстояние от центра до любой точки на окружности; диаметр (d) = 2r. - Длина окружности (периметр круга): C = 2πr. - Площадь круга: S = πr^2. - Хорда: любая прямая, проходящая через окружность и соединяющая две точки на ней. - Касательная: прямая, касающаяся окружности в одной точке; радиус к точке касания перпендикулярен касательной. - Угол, центральный и дуги: центральный угол измеряет дугу так же, как и сам угол; дуга пропорциональна центральному углу. - Теорема о вписанном угле: угол, сведённый с помощью отрезка, вписанный в окружность и опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, охватывающего ту же дугу. - Дуги и сектора: длина дуги s = r · θ (в радианах) или s = (θ/360) · 2πr; площадь сектора A = (θ/360) · πr^2. - Доказательственные свойства: равные хорды равноудалены от центра; равные углы, опирающиеся на равные дуги. 5) Регулярные многоугольники - Все стороны и все углы равны. - Внутренний угол любого n-угольника: ∠ = (n − 2) · 180° / n. - Внешний угол любого регулярного n-угольника: 360° / n. - Сумма внутренних углов всегда (n − 2) · 180°. - Количество диагоналей в n-угольнике: n(n − 3)/2. - Площадь регулярного n-угольника можно вычислять через апофему (вписанный в многоугольник радиус вписанной окружности) или через сторону и число сторон: A = (P · a) / 2, где P — периметр, a — апофема; альтернативно A = (n · s^2) / (4 tan(π/n)). 6) Преобразования, подобие и конгруэнтность - Трансформации: сдвиг (перемещение), вращение, отражение (зеркальное отражение), масштабирование (растяжение/сжатие). - Конгруэнтность: фигуры совпадают по размеру и форме; соответствующие стороны и углы равны. - Подобие: фигуры имеют одинаковые формы (одинаковые углы) и пропорциональные стороны; коэффициент подобия k задаёт масштаб: стороны умножаются на k, площади — на k^2, объёмы — на k^3. - Свойства сохранения: при параллельных переносах и поворотах сохраняются длины и углы; при масштабировании — сохраняются углы, но длины меняются по коэффициенту масштаба. 7) Площадь и объём - Площадь стандартных фигуры: - Прямоугольник/параллелограмм: S = base · height. - Квадрат: S = a^2. - Треугольник: S = (1/2) · base · height. - Трапеция: S = (b1 + b2) · h / 2. - Круг: S = πr^2. - Регулярный n-угольник: S через апофему: S = (P · a) / 2. - Объём: - Призматические тела (параллелепипед, куб): V = B · h. - Пирамида: V = (1/3) · B · h. - Цилиндр: V = πr^2h. - Конус: V = (1/3) · πr^2h. - Площадь поверхности: - Призма и цилиндр: SA = 2B + Ph (для призмы) и SA = 2πrh + 2πr^2 (для цилиндра). - Пирамида и конус: SA = B + L (где L — боковая поверхность); для конуса L = πrl. - Пример единых закономерностей: при масштабировании фигуры площади пропорциональны квадрату масштаба, объём — кубу масштаба. 8) Тригонометрия (введение, для прямоугольных треугольников) - Основные соотношения в прямоугольном треугольнике: - sin(угол) = противоположный катет / гипотенуза. - cos(угол) = прилежащий катет / гипотенуза. - tan(угол) = противоположный катет / прилежащий катет. - Часто встречающиеся точные значения: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° для упрощённых расчётов и трёхчленов Пифагора. - Порядок работы: при известной паре величин можно найти другую через эти отношения. 9) Дополнительные полезные свойства - Взаимосвязи в окружности и многоугольниках: диагонали и касательные к окружности, соотношения углов и дуг, свойства равных хоридов. - Углы при пересечении прямых: при пересечении двух параллельных прямых транзвертальные углы равны; соответствующие углы равны. - Геометрические построения: как строить высоты, медианы, биссектрисы, диагонали и т. д. с помощью циркуля и линейки (обычно на этапе изучения свойств даются общие принципы, а конкретные построения выполняются на занятиях). Если хочешь, могу: - сделать удобную краткую шпаргалку по каждому разделу (формулы и свойства); - подобрать примеры задач по каждому разделу для закрепления; - адаптировать материал под конкретный обучающий курс 7 или 8 класса с учётом того, какие именно темы упоминаются в твоей программе.