Напиши все свойства геометрических фигур за 7-8 классы

Ниже собраны основные свойства геометрических фигур и школьных понятий, которые обычно изучают в 7–8 классах. Это полный обзор без решения конкретных задач, но с краткими объяснениями и формулами, чтобы было понятно, какие свойства запоминают на этом этапе.

1. Общие понятия и принципы

• Точка, прямая, плоскость, отрезок, луч: базовые элементы геометрии.
• Параллельность и перпендикулярность: две прямые могут быть параллельны, могут пересекаться, фигуры строятся с учетом параллельных сторон.
• Углы: меру угла задают в градусах; сумма степеней образующих угол для примыкающих углов определяется типом фигуры.
• Сумма углов многоугольника: для любого треугольника сумма внутренних углов равна 180°, для многоугольника с n сторонами сумма внутренних углов равна (n − 2) · 180°.
• Внешний угол: сумма степеней внешних углов вокруг вершины равна 360°.
• Периметр и площадь: базовые величины площади и длины контура.
• Признаки равенства и подобия: равные фигуры имеют совпадающие размеры и формы; подобные фигуры имеют одинаковые углы и пропорциональные стороны.

2. Треугольники

• Виды по сторонам: равносторонний (все стороны равны), равнобедренный (две стороны равны), разносторонний (все стороны разные).
• Виды по углам: остроугольный, тупоугольный, прямоугольный.
• Сумма углов треугольника: 180°.
• Отношение сторон и углов: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Высота, медиана, биссектриса:
  • Высота: перпендикулярна к противоположной стороне.
  • Медиана: соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
  • Биссектриса: делит угол пополам.
  • Центроид: точка пересечения медиан, делит каждую медиану в отношение 2:1 (большее от вершины).
  • Ортцентр: точка пересечения высот.
  • Инцентр: точка пересечения биссектрис, центр вписанной окружности.
• Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике a^2 + b^2 = c^2 (где c — гипотенуза).
• Площади и периметры:
  • Площадь треугольника: S = (1/2) · base · height.
  • Периметр: P = a + b + c.
  • Площадь равностороннего треугольника: S = (√3 / 4) · a^2.
  • Формула Герона: S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), где s = (a + b + c)/2.
• Признаки треугольников на равенство:
  • SSS, SAS, ASA, AAS, RHS (для прямоугольных треугольников).
• Специальные треугольники:
  • 30–60–90: стороны в отношении 1 : √3 : 2.
  • 45–45–90: стороны в отношении 1 : 1 : √2.

3. Четырехугольники

• Параллелограмм: противоположные стороны параллельны и равны, диагонали бeсятся пополам; суммарная площадь S = база · высота.
• Прямоугольник: параллелограмм с прямыми углами; диагонали равны.
• Ромб: параллелограмм с равными сторонами; диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.
• Квадрат: и параллелограмм, и ромб; прямые углы и равные диагонали; диагонали равны и перпендикулярны.
• Трапеция: одна пара противоположных сторон параллельна; основания б = одна параллельная пара, высота h — расстояние между основаниями; площадь S = (b1 + b2) · h / 2.
• Равнобедренная трапеция: неравные боковые стороны, но базовые углы равны; диагонали равны.
• Клиновидник (кинет): две пары соседних равных сторон; диагонали часто перпендикулярны; одна диагональ может делить другую пополам и бисектрисы углов между равными сторонами.
• Свойство диагоналей: в произвольном параллелограмме диагонали пересекаются и делят друг друга пополам; в квадрате/прямоугольнике/ромбе эти свойства дополняются дополнительными фактами (см. выше).
• Вписанные и описанные окружности и циркульные свойства в четырехугольниках встречаются в задачах на круги; общая формула для площади — базовая: S = основание · высота.

4. Окружности и дуги

• Радиус (r) — расстояние от центра до любой точки на окружности; диаметр (d) = 2r.
• Длина окружности (периметр круга): C = 2πr.
• Площадь круга: S = πr^2.
• Хорда: любая прямая, проходящая через окружность и соединяющая две точки на ней.
• Касательная: прямая, касающаяся окружности в одной точке; радиус к точке касания перпендикулярен касательной.
• Угол, центральный и дуги: центральный угол измеряет дугу так же, как и сам угол; дуга пропорциональна центральному углу.
• Теорема о вписанном угле: угол, сведённый с помощью отрезка, вписанный в окружность и опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, охватывающего ту же дугу.
• Дуги и сектора: длина дуги s = r · θ (в радианах) или s = (θ/360) · 2πr; площадь сектора A = (θ/360) · πr^2.
• Доказательственные свойства: равные хорды равноудалены от центра; равные углы, опирающиеся на равные дуги.

5. Регулярные многоугольники

• Все стороны и все углы равны.
• Внутренний угол любого n-угольника: ∠ = (n − 2) · 180° / n.
• Внешний угол любого регулярного n-угольника: 360° / n.
• Сумма внутренних углов всегда (n − 2) · 180°.
• Количество диагоналей в n-угольнике: n(n − 3)/2.
• Площадь регулярного n-угольника можно вычислять через апофему (вписанный в многоугольник радиус вписанной окружности) или через сторону и число сторон: A = (P · a) / 2, где P — периметр, a — апофема; альтернативно A = (n · s^2) / (4 tan(π/n)).

6. Преобразования, подобие и конгруэнтность

• Трансформации: сдвиг (перемещение), вращение, отражение (зеркальное отражение), масштабирование (растяжение/сжатие).
• Конгруэнтность: фигуры совпадают по размеру и форме; соответствующие стороны и углы равны.
• Подобие: фигуры имеют одинаковые формы (одинаковые углы) и пропорциональные стороны; коэффициент подобия k задаёт масштаб: стороны умножаются на k, площади — на k^2, объёмы — на k^3.
• Свойства сохранения: при параллельных переносах и поворотах сохраняются длины и углы; при масштабировании — сохраняются углы, но длины меняются по коэффициенту масштаба.

7. Площадь и объём

• Площадь стандартных фигуры:
  • Прямоугольник/параллелограмм: S = base · height.
  • Квадрат: S = a^2.
  • Треугольник: S = (1/2) · base · height.
  • Трапеция: S = (b1 + b2) · h / 2.
  • Круг: S = πr^2.
  • Регулярный n-угольник: S через апофему: S = (P · a) / 2.
• Объём:
  • Призматические тела (параллелепипед, куб): V = B · h.
  • Пирамида: V = (1/3) · B · h.
  • Цилиндр: V = πr^2h.
  • Конус: V = (1/3) · πr^2h.
• Площадь поверхности:
  • Призма и цилиндр: SA = 2B + Ph (для призмы) и SA = 2πrh + 2πr^2 (для цилиндра).
  • Пирамида и конус: SA = B + L (где L — боковая поверхность); для конуса L = πrl.
• Пример единых закономерностей: при масштабировании фигуры площади пропорциональны квадрату масштаба, объём — кубу масштаба.

8. Тригонометрия (введение, для прямоугольных треугольников)

• Основные соотношения в прямоугольном треугольнике:
  • sin(угол) = противоположный катет / гипотенуза.
  • cos(угол) = прилежащий катет / гипотенуза.
  • tan(угол) = противоположный катет / прилежащий катет.
• Часто встречающиеся точные значения: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° для упрощённых расчётов и трёхчленов Пифагора.
• Порядок работы: при известной паре величин можно найти другую через эти отношения.

9. Дополнительные полезные свойства

• Взаимосвязи в окружности и многоугольниках: диагонали и касательные к окружности, соотношения углов и дуг, свойства равных хоридов.
• Углы при пересечении прямых: при пересечении двух параллельных прямых транзвертальные углы равны; соответствующие углы равны.
• Геометрические построения: как строить высоты, медианы, биссектрисы, диагонали и т. д. с помощью циркуля и линейки (обычно на этапе изучения свойств даются общие принципы, а конкретные построения выполняются на занятиях).

Если хочешь, могу:

• сделать удобную краткую шпаргалку по каждому разделу (формулы и свойства);
• подобрать примеры задач по каждому разделу для закрепления;
• адаптировать материал под конкретный обучающий курс 7 или 8 класса с учётом того, какие именно темы упоминаются в твоей программе.