Как решать дискрименантом

Задача: как решать квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Что такое дискриминант

• Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0
• Дискриминант D определяется как D = b^2 - 4ac
• По значению D можно определить число и тип корней (для действительных чисел):
  • D > 0: два различных действительных корня
  • D = 0: один двойной корень
  • D < 0: действительных корней нет (есть два комплексных корня)

Пошаговая инструкция

1. Приведите задачу к каноническому виду ax^2 + bx + c = 0.
   • Если коэффициент a = 0, задача уже не квадратное, а линейное: bx + c = 0.
2. Если a ≠ 0, найдите дискриминант D = b^2 - 4ac.
3. По значению D найдите корни:
   • D > 0: x1 = (-b - sqrt(D)) / (2a), x2 = (-b + sqrt(D)) / (2a)
   • D = 0: x = -b / (2a)
   • D < 0: действительных корней нет; можно записать комплексные корни: x = (-b ± i sqrt(-D)) / (2a)
4. Проверка (опционально): подставьте найденные корни обратно в уравнение, чтобы убедиться, что они удовлетворяют уравнению.

Примеры

1. Простое уравнение с двумя корнями x^2 - 5x + 6 = 0

• a = 1, b = -5, c = 6
• D = (-5)^2 - 4·1·6 = 25 - 24 = 1 > 0
• x1 = (-(-5) - sqrt(1)) / (2·1) = (5 - 1)/2 = 2
• x2 = (-(-5) + sqrt(1)) / (2·1) = (5 + 1)/2 = 3 Ответ: x = 2 и x = 3

2. Уравнение с одним корнем (D = 0) 2x^2 + 4x + 2 = 0

• a = 2, b = 4, c = 2
• D = 4^2 - 4·2·2 = 16 - 16 = 0
• x = -b / (2a) = -4 / (4) = -1 Ответ: x = -1 (единственный корень)

3. Уравнение без действительных корней (D < 0) x^2 + x + 1 = 0

• a = 1, b = 1, c = 1
• D = 1^2 - 4·1·1 = 1 - 4 = -3 < 0
• Нет действительных корней. Можем записать комплексные корни: x = (-1 ± i√3) / 2 Примечание: в 8-м классе часто достаточно знать, что никаких действительных корней нет; комплексные корни – это более продвинутый материал.

4. Лине́йное уменьшение (когда a = 0) 3x^2 - 9 = 0 не подходит, потому что a = 0 — уравнение не квадратное. Рассмотрим: 0·x^2 + 4x - 8 = 0 → 4x - 8 = 0 → x = 2

Дополнительные полезные замечания

• Если b = 0, уравнение имеет вид ax^2 + c = 0. Тогда дискриминант D = -4ac, но главное — решать напрямую: x^2 = -c/a, если -c/a > 0 есть два корня x = ± sqrt(-c/a).
• Проверка решений полезна, особенно если вы решаете по памяти и что-то пошло не так.
• Дискриминант помогает быстро понять, сколько корней будет, даже если вы ещё не нашли сами корни.

Задача для практики Реши уравнение: 3x^2 - 12x + 12 = 0

• Найди D, затем корни, объясни выводы по значению D.

Если хочешь, могу предложить ещё несколько задач под твой уровень и подробные решения по каждому случаю.