Обучения по любому предмету и классу Вопрос от Анонимного юзера 23 ноября 2023 14:25 Докажите что если отрезки соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника перпендикулярны то его диагонали равны

Задача: докажем, что если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, перпендикулярны, то диагонали этого четырехугольника равны. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник. Обозначим середины сторон: - E — середина AB, - F — середина BC, - G — середина CD, - H — середина DA. Тогда отрезки EG и FH соединяют середины противоположных сторон. Пусть они перпендикулярны: EG ⟂ FH. 1) Вспомним свойство Вариньона: четырехугольник EFGH, образованный соединением середин AB, BC, CD, DA, является параллелограммом. Его стороны имеют направления: - EF ∥ AC и EF = AC/2, - FG ∥ BD и FG = BD/2. 2) Диагоналями параллелограмма EFGH являются EG и FH. По условию они перпендикулярны. 3) В любом параллелограмме диагонали перпендикулярны тогда и только тогда, когда параллелограмм является ромбом. Это следует из свойств векторов: если параллелограмм имеет стороны вектора u и v, то его диагонали имеют направления u+v и v−u, и их скалярное произведение равно v·v − u·u. Перпендикулярность диагоналей означает |u| = |v|, то есть стороны равны и параллелограмм — ромб. 4) Применим это к EFGH: его стороны EF и FG равны тогда и только тогда, когда EF = FG. 5) По шагу 1 у нас EF = AC/2 и FG = BD/2. Следовательно, если EF = FG, то AC/2 = BD/2, откуда AC = BD. Итак, из того, что EG ⟂ FH, следует, что EFGH — ромб, что даёт EF = FG, и значит диагонали исходного четырехугольника ABCD равны: AC = BD. Это и требовалось доказать.