обучения по любому предмету и классу Вопрос от Анонимного юзера 23 ноября 2023 14:25 Докажите что если отрезки соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника…
Обучения по любому предмету и классу Вопрос от Анонимного юзера 23 ноября 2023 14:25 Докажите что если отрезки соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника перпендикулярны то его диагонали равны
Задача: докажем, что если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, перпендикулярны, то диагонали этого четырехугольника равны.
Пусть ABCD — произвольный четырехугольник. Обозначим середины сторон:
- E — середина AB,
- F — середина BC,
- G — середина CD,
- H — середина DA.
Тогда отрезки EG и FH соединяют середины противоположных сторон. Пусть они перпендикулярны: EG ⟂ FH.
- Вспомним свойство Вариньона: четырехугольник EFGH, образованный соединением середин AB, BC, CD, DA, является параллелограммом. Его стороны имеют направления:
- EF ∥ AC и EF = AC/2,
- FG ∥ BD и FG = BD/2.
Диагоналями параллелограмма EFGH являются EG и FH. По условию они перпендикулярны.
В любом параллелограмме диагонали перпендикулярны тогда и только тогда, когда параллелограмм является ромбом. Это следует из свойств векторов: если параллелограмм имеет стороны вектора u и v, то его диагонали имеют направления u+v и v−u, и их скалярное произведение равно v·v − u·u. Перпендикулярность диагоналей означает |u| = |v|, то есть стороны равны и параллелограмм — ромб.
Применим это к EFGH: его стороны EF и FG равны тогда и только тогда, когда EF = FG.
По шагу 1 у нас EF = AC/2 и FG = BD/2. Следовательно, если EF = FG, то AC/2 = BD/2, откуда AC = BD.
Итак, из того, что EG ⟂ FH, следует, что EFGH — ромб, что даёт EF = FG, и значит диагонали исходного четырехугольника ABCD равны: AC = BD. Это и требовалось доказать.
