Натуральные числа a,b,c таковы, что a2 b+b2 c+c2 a=ab2+bc2+ca2 и abc=293930. Чему равна сумма a+b+c?
Задача сводится к двум частям: показать, что из условия a^2 b + b^2 c + c^2 a = a b^2 + b c^2 + c a^2 следует равенство двух переменных, а затем найти сами значения с учетом abc = 293930.
- Рационализация уравнения
Рассмотрим разность двух выражений: (a^2 b + b^2 c + c^2 a) - (a b^2 + b c^2 + c a^2) = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a).
Факт: (a - b)(b - c)(c - a) = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a). Таким образом, a^2 b + b^2 c + c^2 a - (a b^2 + b c^2 + c a^2) = (a - b)(b - c)(c - a).
По условию левая часть равна нулю, значит (a - b)(b - c)(c - a) = 0. Следовательно, хотя бы две из чисел a, b, c равны.
- Разбор случаев и использование abc = 293930
Из условия abc = 293930 следует, что 293930 факторизуется как произведение простых: 293930 = 2 · 5 · 7 · 13 · 17 · 19 (число квадратно-непокрытое).
Рассмотрим три случая равенства двух переменных:
a) a = b: тогда abc = a^2 c = 293930. Так как в разложении 293930 все простые степени равны 1, не может быть, чтобы a^2 делило 293930, кроме a = 1. Значит a = b = 1 и c = 293930. Сумма: a + b + c = 1 + 1 + 293930 = 293932.
b) b = c: тогда abc = a b^2 = 293930. Аналогично, единственный возможный вариант — b = 1, а значит a = 293930. Сумма: 293930 + 1 + 1 = 293932.
c) c = a: тогда abc = a^2 b = 293930. Опять же a = 1, следовательно c = 1 и b = 293930. Сумма: 1 + 293930 + 1 = 293932.
- Во всех тройках сумма равна 293932.
Ответ: a + b + c = 293932.
