2x+4/x-7>0

Задача: (2x+4)/(x-7) > 0

Пояснение и решение в пошаговом формате.

1. Приведение к удобному виду

• Перепишем числитель: 2x+4 = 2(x+2).
• Значит выражение равно [2(x+2)]/(x-7).
• Так как множитель 2 всегда положителен, знак дроби зависит только от (x+2)/(x-7).
• Поэтому решаем неравенство: (x+2)/(x-7) > 0, при этом область определения исключает x=7.

2. Числа-ноль и области разрыва

• Числитель нули: x+2 = 0 → x = -2.
• Знаменатель нули: x-7 = 0 → x = 7 (не допускается, выражение неопределено в x=7).
• Эти точки являются критическими для знака дроби: x = -2 (значение дроби будет 0, а неравенство требует > 0) и x = 7 (нельзя).

3. Анализ знаков на интервалах Разделим действительную ось на интервалы по точкам -2 и 7:

• Інтервал (-∞, -2):
  • x+2 < 0 (числитель отрицателен)
  • x-7 < 0 (знаменатель отрицателен)
  • Отношение отрицательное/отрицательное = положительное. Значит > 0 здесь выполняется.
• Интервал (-2, 7):
  • x+2 > 0 (числитель положителен)
  • x-7 < 0 (знаменатель отрицателен)
  • Отношение положительное/отрицательное = отрицательное. Значит > 0 здесь не выполняется.
• Интервал (7, +∞):
  • x+2 > 0 (числитель положителен)
  • x-7 > 0 (знаменатель положителен)
  • Отношение положительное/положительное = положительное. Значит > 0 здесь выполняется.

4. Исключения и итог

• x = -2 даёт значение дроби 0, поэтому не подходит для неравенства > 0.
• x = 7 недопустим (деление на ноль).
• Поэтому объединяем допустимые интервалы: (-∞, -2) и (7, +∞).

Ответ: x принадлежит (-∞, -2) ∪ (7, +∞).

Короткая проверка на примерах:

• Пусть x = -3: (2(-3)+4)/(-3-7) = (-6+4)/(-10) = (-2)/(-10) = 0.2 > 0. Подходит.
• Пусть x = 0: (0+4)/(0-7) = 4/(-7) < 0. Не подходит.
• Пусть x = 8: (16+4)/(1) = 20 > 0. Подходит.

Примечание на случай другой интерпретации В некоторых задачах формат может быть неясен и записан как 2x + 4/x - 7 > 0. В таком случае выражение имеет вид (2x^2 - 7x + 4)/x > 0 и решение значительно дольше (здесь корни числителя irrational: x = (7 ± sqrt(17))/4). Но для стандартного вида чаще всего имеют в виду (2x+4)/(x-7) > 0, как выполнено выше. Если хотите, могу решить и альтернативный вариант отдельно.