Реши задание пожалуйста
Решение:
Дано окружность радиуса R с диаметром CD. Точка E лежит на diameter CD и CE:ED = 2:5.
Найдём положение E относительно центра O. Диаметр CD имеет длину 2R, поэтому CE = (2/7)·CD = (2/7)·2R = 4R/7. Центр O находится на середине CD, поэтому CO = R. Следовательно, EO = CO − CE = R − 4R/7 = 3R/7.
Для точки E внутри окружности противолежащие ей точки A и B на прямой AB образуют отрезок AB с точкой E посередине по длине. Свойство мощности точки E относительно окружности говорит, что AE · EB = R^2 − EO^2.
Даны AE = 4 и EB = 2,5, значит AE · EB = 4 · 2,5 = 10.
- Подставим EO = 3R/7: R^2 − EO^2 = R^2 − (3R/7)^2 = R^2 − 9R^2/49 = (40R^2)/49.
По правилу мощности имеем: 10 = (40R^2)/49.
- Решаем относительно R: R^2 = (10 · 49) / 40 = 490 / 40 = 12.25 ⇒ R = 3.5.
Ответ: радиус окружности равен 3.5 единиц. Проверка: CD = 2R = 7, CE = (2/7)·7 = 2, ED = 5, EO = CO − CE = 3.5 − 2 = 1.5, AE · EB = 4 · 2.5 = 10 = R^2 − EO^2 = 12.25 − 2.25. Всё согласуется.
