Система: 3/(x²+y²-1) + 2y/x = 1 x² + y² + 4x/y = 22

Задача: решить систему 1) 3/(x^2 + y^2 − 1) + 2y/x = 1 2) x^2 + y^2 + 4x/y = 22 Условия: x ≠ 0, y ≠ 0, x^2 + y^2 ≠ 1 (из-за делителей). Пошаговое решение 1) Запишем r = x^2 + y^2 для краткости. Тогда система — - 3/(r − 1) + (2y)/x = 1 - r + 4x/y = 22 2) Перепишем обе уравнения так, чтобы увидеть взаимосвязи между r, x и y. - Из первого уравнения умножим на x(r − 1): 3x + 2y(r − 1) = x(r − 1) Приведём подобные: xr − x = 3x + 2yr − 2y r(x − 2y) = 4x − 2y Это уравнение (A): (x^2 + y^2)(x − 2y) = 4x − 2y. - Из второго уравнения умножим на y: ry + 4x = 22y Это уравнение (B): ry = 22y − 4x. 3) Пусть y ≠ 0 (это истинно по условию). Введём параметр t = x/y. Тогда x = t y, r = x^2 + y^2 = (t^2 + 1) y^2. Из (B): r y = (t^2 + 1) y^3 = 22y − 4x = 22y − 4t y Разделим на y (y ≠ 0): (t^2 + 1) y^2 = 22 − 4t Обозначим S = (t^2 + 1) y^2 = 22 − 4t. Из (A) запишем через S: r(x − 2y) = (t^2 + 1) y^2 (t y − 2y) = S y (t − 2) 4x − 2y = 4t y − 2y = y(4t − 2) Разделим на y: S(t − 2) = 4t − 2 Подставим S = 22 − 4t: (22 − 4t)(t − 2) = 4t − 2 Получаем квадратичное уравнение по t: -4t^2 + 30t − 44 = 4t − 2 -4t^2 + 26t − 42 = 0 Умножим на −1 и сократим: 4t^2 − 26t + 42 = 0 Разделим на 2: 2t^2 − 13t + 21 = 0 Корни: D = 169 − 4·2·21 = 169 − 168 = 1 t = (13 ± 1)/4 → t = 3 или t = 7/2. 4) Рассмотрим каждый случай отдельно. - Случай A: t = 3 (то есть x = 3y) S = 22 − 4t = 22 − 12 = 10 t^2 + 1 = 9 + 1 = 10 y^2 = S/(t^2 + 1) = 10/10 = 1 y = ±1, тогда x = t y = 3y = ±3. Получаем решения: (x, y) = (3, 1) и (−3, −1). - Случай B: t = 7/2 (то есть x = (7/2) y) S = 22 − 4t = 22 − 14 = 8 t^2 + 1 = (49/4) + 1 = 53/4 y^2 = S/(t^2 + 1) = 8 / (53/4) = 32/53 y = ±√(32/53) = ±(4√2)/√53 x = t y = (7/2) y = ± (7/2)·(4√2/√53) = ± (14√2)/√53 Можно записать как x = ±14√(2/53), y = ±4√(2/53) (с тем же знаком). Получаем решения: (x, y) = (14√(2/53), 4√(2/53)) и (−14√(2/53), −4√(2/53)). Итого все реальные решения системы: - (x, y) = (3, 1) - (x, y) = (−3, −1) - (x, y) = (14√(2/53), 4√(2/53)) - (x, y) = (−14√(2/53), −4√(2/53)) Проверка на каждом шаге демонстрирует, что они удовлетворяют исходной системе (можно проверить подстановкой в обе уравнения). Значения действительно удовлетворяют условиям области (r ≠ 1, x ≠ 0, y ≠ 0).