Решите уравнение 3log27(x) + 6logx(3) = 5

Задача: решить уравнение 3 log_{27}(x) + 6 log_{x}(3) = 5. Параметры ученика: Предмет Алгебра, класс 11, цель — понять. Я дам подробное решение с объяснениями и проверкой. 1) Определим область допустимых значений - Поскольку в логарифмах используются основания 27 и x, требуются: x > 0 и x ≠ 1. - Также аргументы логарифмов должны быть положительны. Это учитывает вышеуказанные условия. Итого: x > 0, x ≠ 1. 2) Воспользуемся удобной заменой y = log_{27}(x) Тогда x = 27^y. Еще полезно заметить: log_{x}(3) = log_{27}(3) / log_{27}(x) = log_{27}(3) / y. Известно, что log_{27}(3) = 1/3, потому что 27 = 3^3 и log_{a^k}(a) = 1/k. Поэтому log_{x}(3) = (1/3) / y. Подстановка в исходное уравнение даёт: 3y + 6 * ((1/3) / y) = 5 Упростим: 3y + 2/y = 5 3) Решим полученное квадратное уравнение Умножим на y (y ≠ 0, в нашем случае это нормально, поскольку ln x и log не должны давать нуль в логовую форму): 3y^2 + 2 = 5y Перенесём все в одну сторону: 3y^2 - 5y + 2 = 0 Решение квадратного уравнения: D = (-5)^2 - 4*3*2 = 25 - 24 = 1 y = [5 ± √1] / (2*3) = (5 ± 1) / 6 Получаем y = 1 и y = 2/3. 4) Найдём x по y x = 27^y - Если y = 1: x = 27^1 = 27 - Если y = 2/3: x = 27^{2/3} = (27^{1/3})^2 = 3^2 = 9 5) Проверка решений - Для x = 9: log_{27}(9) = 2/3, значит 3 log_{27}(9) = 2. log_{9}(3) = 1/2, значит 6 log_{9}(3) = 3. Сумма: 2 + 3 = 5. Ок. - Для x = 27: log_{27}(27) = 1, значит 3 log_{27}(27) = 3. log_{27}(3) = 1/3, значит 6 log_{27}(3) = 2. Сумма: 3 + 2 = 5. Ок. Ответ: x ∈ {9, 27}.