Задача: разложить 6x^2 + xy - 12y^2 на множители.
Модель разложения: предположим, что это произведение двух линейных биномиалов с переменными x и y:
( A x + B y )( C x + D y )
Тогда при умножении получаем:
A C x^2 + (A D + B C) x y + B D y^2
Нам нужно подобрать A, B, C, D такие, чтобы:
- A C = 6
- B D = -12
- A D + B C = 1
Шаг 1. Найдём пары для A C = 6 и B D = -12.
- Возможные пары для AC = 6: (1,6), (2,3), (3,2), (6,1) и их перестановки.
- Возможные пары для BD = -12: (±1, ∓12), (±2, ∓6), (±3, ∓4), (±4, ∓3), (±6, ∓2), (±12, ∓1). Здесь B и D имеют разные знаки.
Шаг 2. Поймём сочетание, которое даёт AD + BC = 1.
Попробуем вариант A = 3, C = 2. Тогда AC = 6.
С B и D подбираем так, чтобы BD = -12 и 3D + 2B = 1 (это AD + BC = 1).
Находим подходящее значение:
- возьмём B = -4, D = 3. Тогда BD = (-4)(3) = -12, и 3D + 2B = 3·3 + 2·(-4) = 9 - 8 = 1.
Это подходит. Значит:
A = 3, B = -4, C = 2, D = 3.
Шаг 3. Запишем разложение и проверим.
(3x - 4y)(2x + 3y) = 3x·2x + 3x·3y - 4y·2x - 4y·3y
= 6x^2 + 9xy - 8xy - 12y^2
= 6x^2 + xy - 12y^2.
Ответ: 6x^2 + xy - 12y^2 = (3x - 4y)(2x + 3y).
Проверка готова: умножение даёт исходный полином.
