Данную массу одноатомного газа перевели из состояния 1 в состояние 2 двумя способами. Сначала при высоком давлении увеличили обем в три раза, а затем уменьшили давление в три…

Пусть дано одноатомный идеальный газ в количестве n молей. Пусть начальные условия 1-й точки: P1, V1, T1. После обоих путей конечные условия общие: V2 = 3V1, P2 = P1/3. Тогда T2 = P2 V2 /(nR) = (P1/3 · 3V1)/(nR) = P1 V1/(nR) = T1, и ∆U = 0 (для идеального газа U зависит только от T).

1. Первый путь: сначала при высоком давлении увеличиваем объём с V1 до 3V1 (постоянное давление P1), затем уменьшаем давление в три раза при фиксированном объёме 3V1.

• Этап 1 (изобарное расширение): W1 = ∫ P dV = P1(3V1 − V1) = 2 P1 V1.
• Этап 2: при фиксированном объёме V = 3V1 изменения объёма нет, следовательно W2 = 0.
• Итого W_path1 = 2 P1 V1.

2. Второй путь: сначала уменьшаем давление в три раза при фиксированном V1, затем увеличиваем объём в три раза при этом давлении (P = P1/3).

• Этап 1 (изохорное понижение давления): W1 = 0.
• Этап 2 (изобарное расширение при P = P1/3, V: V1 → 3V1): W2 = (P1/3)(3V1 − V1) = (2/3) P1 V1.
• Итого W_path2 = (2/3) P1 V1.

Заметим, что конечное состояние одинаково для обеих траекторий, значит ∆U одинаково (оно равно 0), и Q = ∆U + W = W. Следовательно:

• W_path1 = 2 P1 V1, Q_path1 = 2 P1 V1.
• W_path2 = (2/3) P1 V1, Q_path2 = (2/3) P1 V1.

Соотношение чисел:

• В первом случае работа больше в факторе 3: W_path1 / W_path2 = 3.
• Аналогично Q_path1 / Q_path2 = 3 (теплота в первом случае больше в том же отношении, так как ∆U одинаково и равно 0).

Выражения через nR T1 (так как P1 V1 = nR T1):

• W_path1 = 2 n R T1
• W_path2 = (2/3) n R T1
• Q_path1 = 2 n R T1
• Q_path2 = (2/3) n R T1

Ответ:

• Работа больше в первом случае. Во сколько раз: в три раза.
• Количество теплоты отличается в том же отношении: Q1 = 3 Q2. Разница Q1 − Q2 = (4/3) P1 V1 = (4/3) nR T1.