Наибольший внешний угол прямоугольного треугольника равен 150°, а прилежащая к нему сторона треугольника равна 32,8 дециметров, вычислите меньшую сторону этого треугольника.
Задача: наибольший внешний угол прямоугольного треугольника равен 150°, прилежащая к нему сторона равна 32,8 дм. Найти меньшую сторону треугольника.
Разбор и решение:
В прямоугольном треугольнике суммы внутренних углов равна 180°. Пусть углы при вершинах A и B равны α и β, а прямой угол — в C. Угол, лежащий снаружи у вершины A (плод 150°), является внешним к interior углу A. Внешний угол и внутренний угол связаны так: внешний = 180° − внутренний. Значит внутренний угол, сопоставимый с этим внешним, равен 30°. Так как остальные два внутренних угла в сумме равны 90°, другой острый угол равен 60°. Получаем: треугольник имеет уголовую конфигурацию 30°–60°–90°.
В треугольнике 30°–60°–90° стороны пропорциональны так:
- против 30° (самая короткая сторона) — a,
- против 60° — a√3,
- гипотенуза — 2a.
То есть отношение сторон: a : a√3 : 2a.
Условие говорит, что сторона, прилежащая к внешнему углу 150°, равна 32,8 дм. В контексте 30°–60°–90° на вершине с внутренним углом 30° прилежащая сторона треугольника — это сторона, образующая этот угол и не являющаяся гипотенузой. Это и есть сторона, равная b = a√3. Следовательно: a√3 = 32,8 дм → a = 32,8 / √3.
Вычисление: a = 32,8 / √3 ≈ 32,8 / 1,7320508 ≈ 18,93 дм.
Ответ: меньшая сторона треугольника приблизительно 18,93 дм.
Примечание. Если трактовать условие иначе и принять за заданную длину гипотенузу, результат был бы 16,4 дм. Но согласно формулировке «прилежащая к нему сторона» чаще трактуют как прилежащую к внешнему углу при виде стороны, образующей этот угол, т.е. как сторону 30°-угла, что даёт 18,93 дм.
