Задача Задача №3549599
А
А
В прямоугольном треугольнике Q R D QRD из прямого угла проведена медиана Q G QG . Найди значение выражения ∣ G D → + Q R → + D Q → ∣ ∣ GD + QR + DQ ∣ , если его гипотенуза…
Запрос пользователя
В прямоугольном треугольнике Q R D QRD из прямого угла проведена медиана Q G QG. Найди значение выражения ∣ G D → + Q R → + D Q → ∣ ∣ GD + QR + DQ ∣, если его гипотенуза равна 91 91.
Ключевая идея: в прямоугольном треугольнике QRD прямой угол в Q, и QG — медиана к гипотенузе RD. Значит G — середина RD.
- Установим координаты:
- Q = (0, 0)
- R = (a, 0)
- D = (0, b)
Тогда гипотенуза RD имеет длину RD = sqrt(a^2 + b^2) = 91 (по условию).
Координаты точки G (середина RD): G = ((a+0)/2, (0+b)/2) = (a/2, b/2)
Векторы:
- GD = D − G = (-a/2, b/2)
- QR = R − Q = (a, 0)
- DQ = Q − D = (0, −b)
Сумма векторов: GD + QR + DQ = (-a/2 + a + 0, b/2 + 0 − b) = (a/2, −b/2)
Длина суммы: |GD + QR + DQ| = sqrt((a/2)^2 + (−b/2)^2) = (1/2) sqrt(a^2 + b^2) = RD/2
Так как RD = 91, получаем: |GD + QR + DQ| = 91/2 = 45.5
Ответ: 91/2.
