Плоскости α и β перпендикулярны. Точка A лежит в плоскости α, отрезок AA 1 ​ перпендикулярен плоскости β. Точка B лежит в плоскости β, отрезок BB 1 ​ перпендикулярен к плоскости α. Найдите длину отрезка AB, если AA 1 ​ =8см, BB 1 ​ =12см, A 1 ​ B 1 ​ =4 2 ​ см.

Задача: плоскости α и β перпендикулярны. A лежит в α, AA1 перпендикулярно β (A1 на β), B лежит в β, BB1 перпендикулярно α (B1 на α). Даны AA1 = 8 см, BB1 = 12 см, A1B1 = 4√2 см. Найдите AB. Подход 1. Прямое координатное решение (пошагово) - Пусть α: z = 0, β: y = 0. Их пересечение — прямая Ox (ось x). - Точку A помещаем в α: A = (xA, yA, 0). Так как AA1 ⟂ β, точка A1 на β имеет те же x и z, но y = 0: A1 = (xA, 0, 0). Тогда AA1 = |yA| = 8, значит yA = 8 (возьмём положительную ориентацию). - Точку B помещаем в β: B = (xB, 0, zB). Так как BB1 ⟂ α, точка B1 на α имеет те же x и y, но z = 0: B1 = (xB, 0, 0). Тогда BB1 = |zB| = 12, значит zB = 12 (возьмём положительную ориентацию). - Расстояние A1B1 равно |xA − xB|. По условию A1B1 = 4√2, значит |xA − xB| = 4√2. - Расстояние AB: AB^2 = (xA − xB)^2 + (yA − 0)^2 + (0 − zB)^2 = (4√2)^2 + 8^2 + 12^2 = 32 + 64 + 144 = 240. Поэтому AB = √240 = 4√15 см. Подход 2. Геометрическая «картинка» с коробкой (без координат) - Рассмотрим прямоугольную коробку, образованную смежными осями, которыми являются направления AA1 (по оси y), A1B1 (по оси x) и BB1 (по оси z). Эти три ребра взаимно перпендикулярны и образуют остроугольную коробку ABCD, где A — противоположный угол по диагонали AB. - Длины ребер коробки: AA1 = 8, A1B1 = 4√2, BB1 = 12. - AB — диагональ этой коробки, поэтому по теореме Пифагора в трех измерениях: AB^2 = AA1^2 + A1B1^2 + BB1^2 = 8^2 + (4√2)^2 + 12^2 = 64 + 32 + 144 = 240. AB = √240 = 4√15 см. Ответ: AB = 4√15 см (примерно 15,49 см).