( x + 1)⁷

Задача: (x + 1)^7

Цель: понять разложение по биномиальному тождеству. Ниже подробное пояснение.

1. Применяем биномиальное разложение

• Формула: (a + b)^n = sum_{k=0}^n C(n, k) a^{n-k} b^k.
• Подставляем a = x, b = 1, n = 7.

2. Вычисляем коэффициенты C(7, k)

• Коэффициенты бинома n = 7 идут в строке Паскаля: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.
• Соответственно разложение будет иметь следующие слагаемые: C(7,0)x^7, C(7,1)x^6, ..., C(7,7)x^0.

3. Запишем разложение (x + 1)^7 = x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1

4. Проверка (помогает понять структуру)

• Сумма коэффициентов равна 2^7 = 128: 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128.
• Это соответствует значению (1 + 1)^7 при подстановке x = 1.

5. Дополнительные заметки

• Коэффициенты в разложении соответствуют строке 7 из таблицы Паскаля: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.
• Общий вид: (x + 1)^7 = sum_{k=0}^7 C(7, k) x^{7-k}.

Если нужно, могу показать аналогичное разложение для другого числа степеней или объяснить, как вычислять коэффициенты C(n, k) по формуле C(n, k) = n! / (k!(n-k)!).