Задача: (x + 1)^7
Цель: понять разложение по биномиальному тождеству. Ниже подробное пояснение.
1) Применяем биномиальное разложение
- Формула: (a + b)^n = sum_{k=0}^n C(n, k) a^{n-k} b^k.
- Подставляем a = x, b = 1, n = 7.
2) Вычисляем коэффициенты C(7, k)
- Коэффициенты бинома n = 7 идут в строке Паскаля: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.
- Соответственно разложение будет иметь следующие слагаемые: C(7,0)x^7, C(7,1)x^6, ..., C(7,7)x^0.
3) Запишем разложение
(x + 1)^7 = x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1
4) Проверка (помогает понять структуру)
- Сумма коэффициентов равна 2^7 = 128: 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128.
- Это соответствует значению (1 + 1)^7 при подстановке x = 1.
5) Дополнительные заметки
- Коэффициенты в разложении соответствуют строке 7 из таблицы Паскаля: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.
- Общий вид: (x + 1)^7 = sum_{k=0}^7 C(7, k) x^{7-k}.
Если нужно, могу показать аналогичное разложение для другого числа степеней или объяснить, как вычислять коэффициенты C(n, k) по формуле C(n, k) = n! / (k!(n-k)!).
